Exercice académique 1 — Séries choisies (tous candidats)

1-2. Positionner les 24 données rangées par blocs (\(a\) fois \(-1\), \(b\) fois \(0\), etc.) et repérer dans quel bloc tombent les rangs 6, 12, 13 et 18. Pour que \(Q_1=0\), le rang 6 doit tomber dans le bloc des \(0\) ; pour \(Q_3=3\), le rang 18 dans le bloc des \(3\).

3. Traduire les contraintes \(Q_1=0\) (rang 6 dans le bloc des \(a\) zéros après les \(a\) valeurs \(-1\)) et \(Q_3=3\) (rang 18 dans le bloc des \(d\) valeurs \(3\)) en inégalités sur \(a\) et \(d\), sachant que \(3a+2d=24\).

5-6. Pour minimiser (ou maximiser) la moyenne à médiane fixée, jouer sur les effectifs extrêmes (\(a\) et \(e\)) tout en respectant les contraintes de quartiles et la somme totale 24.

Correction détaillée

1. Montrer que \([3,9,5,2,5]\) est une série choisie ; calculer sa médiane.

Vérifions d'abord que les effectifs sont des entiers naturels non nuls et que leur somme est 24 :

\[a=3,\; b=9,\; c=5,\; d=2,\; e=5 \quad\Rightarrow\quad 3+9+5+2+5 = 24.\]

Tous sont strictement positifs, donc la condition de base est remplie.

Déterminons \(Q_1\) et \(Q_3\). Les données sont rangées en ordre croissant. Les effectifs cumulés sont :

• Valeur \(-1\) : effectif cumulé \(3\) (positions 1 à 3)

• Valeur \(0\) : effectif cumulé \(3+9=12\) (positions 4 à 12)

• Valeur \(1\) : effectif cumulé \(12+5=17\) (positions 13 à 17)

• Valeur \(3\) : effectif cumulé \(17+2=19\) (positions 18 à 19)

• Valeur \(5\) : effectif cumulé \(19+5=24\) (positions 20 à 24)

\(Q_1\) est la 6e donnée. La 6e donnée se trouve dans la classe de valeur \(0\) (positions 4 à 12). Donc \(Q_1 = 0\).

\(Q_3\) est la 18e donnée. La 18e donnée se trouve dans la classe de valeur \(3\) (positions 18 à 19). Donc \(Q_3 = 3\).

Ainsi \([3,9,5,2,5]\) vérifie \(Q_1=0\) et \(Q_3=3\) : c'est une série choisie.

Médiane \(M_e\) : pour 24 données, c'est la moyenne des 12e et 13e données.

• La 12e donnée est la dernière de la classe \(0\) (effectif cumulé 12), donc vaut \(0\).

• La 13e donnée est la première de la classe \(1\) (effectif cumulé 13), donc vaut \(1\).

\[M_e = \frac{0+1}{2} = 0,5.\]

2. Pour \([3,8,c,d,e]\), quelles médianes sont possibles ?

On a \(a=3\), \(b=8\). La somme totale est 24, donc :

\[3+8+c+d+e = 24 \quad\Rightarrow\quad c+d+e = 13.\]

Tous les effectifs sont des entiers naturels non nuls, donc \(c\ge1\), \(d\ge1\), \(e\ge1\).

Les effectifs cumulés :

• Valeur \(-1\) : cumul \(3\) (positions 1-3)

• Valeur \(0\) : cumul \(3+8=11\) (positions 4-11)

• Valeur \(1\) : cumul \(11+c\) (positions 12 à \(11+c\))

• Valeur \(3\) : cumul \(11+c+d\)

• Valeur \(5\) : cumul \(24\)

La médiane est la moyenne des 12e et 13e données.

La 12e donnée : elle se trouve dans la classe de valeur \(1\) si \(c\ge1\) (car le cumul après 0 est 11, donc la position 12 est la première de la classe 1). Donc la 12e donnée vaut toujours \(1\) (car \(c\ge1\)).

La 13e donnée : elle est aussi dans la classe \(1\) si \(c\ge2\) (car alors la classe 1 contient au moins les positions 12 et 13). Si \(c=1\), la classe 1 ne contient que la position 12, donc la position 13 est dans la classe suivante (valeur 3).

Deux cas :

• Cas 1 : \(c\ge2\). Alors les 12e et 13e données sont toutes deux dans la classe 1, donc valent 1. La médiane est :

\[M_e = \frac{1+1}{2} = 1.\]

• Cas 2 : \(c=1\). Alors la 12e donnée vaut 1, la 13e donnée est la première de la classe 3 (car \(d\ge1\)), donc vaut 3. La médiane est :

\[M_e = \frac{1+3}{2} = 2.\]

Ainsi les médianes possibles sont \(1\) et \(2\).

3. Pour \([a,a,a,d,d]\) :

a) Montrer que \(a\) est pair.

On a \(a+a+a+d+d = 3a+2d = 24\). Donc \(3a = 24-2d\). Le membre de droite est pair (car \(24\) et \(2d\) sont pairs), donc \(3a\) est pair. Comme 3 est impair, \(a\) doit être pair.

b) Montrer \(3\le a\le5\).

Les effectifs sont non nuls : \(a\ge1\), \(d\ge1\). De plus, \(3a+2d=24\) donne \(2d = 24-3a\), donc \(d = \frac{24-3a}{2}\). Comme \(d\ge1\), on a :

\[\frac{24-3a}{2} \ge 1 \quad\Rightarrow\quad 24-3a \ge 2 \quad\Rightarrow\quad 3a \le 22 \quad\Rightarrow\quad a \le \frac{22}{3} \approx 7,33.\]

Donc \(a\le7\). Mais \(a\) est pair et \(a\ge1\), donc \(a\in\{2,4,6\}\).

Vérifions les conditions de série choisie : \(Q_1=0\) et \(Q_3=3\).

Effectifs cumulés :

• Valeur \(-1\) : cumul \(a\)

• Valeur \(0\) : cumul \(a+a=2a\)

• Valeur \(1\) : cumul \(2a+a=3a\)

• Valeur \(3\) : cumul \(3a+d\)

• Valeur \(5\) : cumul \(24\)

\(Q_1\) est la 6e donnée. Pour que \(Q_1=0\), il faut que la 6e donnée soit dans la classe 0, donc que le cumul avant 0 soit strictement inférieur à 6 et le cumul après 0 soit au moins 6. Le cumul avant 0 est \(a\) (effectif de -1). Donc il faut \(a < 6\) (pour que la 6e donnée ne soit pas -1) et \(2a \ge 6\) (pour que la 6e donnée soit dans 0). Soit \(a < 6\) et \(a \ge 3\). Donc \(a \ge 3\).

\(Q_3\) est la 18e donnée. Pour que \(Q_3=3\), il faut que la 18e donnée soit dans la classe 3. Le cumul avant la classe 3 est \(3a\) (effectifs de -1,0,1). Donc il faut \(3a < 18\) (pour que la 18e donnée ne soit pas avant 3) et \(3a+d \ge 18\) (pour qu'elle soit dans 3). Soit \(3a < 18 \Rightarrow a < 6\), et \(3a+d \ge 18\).

Avec \(a\) pair, \(a\ge3\) et \(a<6\), les possibilités sont \(a=4\) seulement (car \(a=2\) est exclu par \(a\ge3\)). Vérifions \(a=4\) : alors \(d = \frac{24-12}{2}=6\). Vérifions \(3a+d = 12+6=18 \ge 18\), OK. Donc \(a=4\) convient. \(a=6\) donnerait \(3a=18\), ce qui ferait que la 18e donnée serait la dernière de la classe 1 (car cumul exactement 18), donc \(Q_3\) serait 1, pas 3. Donc \(a=6\) est exclu.

Ainsi \(a=4\), donc \(3\le a\le5\) est vérifié (car \(a=4\)).

c) En déduire \(a,d\).

On a \(a=4\), \(d = \frac{24-3\times4}{2} = \frac{12}{2}=6\). Donc \([4,4,4,6,6]\).

d) Calculer la médiane.

Effectifs cumulés :

• \(-1\) : cumul 4 (positions 1-4)

• \(0\) : cumul 8 (positions 5-8)

• \(1\) : cumul 12 (positions 9-12)

• \(3\) : cumul 18 (positions 13-18)

• \(5\) : cumul 24

La 12e donnée est la dernière de la classe 1, donc vaut 1. La 13e donnée est la première de la classe 3, donc vaut 3. Médiane :

\[M_e = \frac{1+3}{2} = 2.\]

4. Quelles sont toutes les médianes possibles pour une série choisie quelconque ?

Une série choisie vérifie \(Q_1=0\) et \(Q_3=3\). Les effectifs sont \(a,b,c,d,e\) non nuls, somme 24.

\(Q_1\) est la 6e donnée. Pour qu'elle soit 0, il faut que la 6e donnée soit dans la classe 0. Donc :

• Le cumul avant 0 (effectif de -1) doit être \(a < 6\) (sinon la 6e serait -1).

• Le cumul jusqu'à 0 (effectifs de -1 et 0) doit être \(a+b \ge 6\) (sinon la 6e serait après 0).

\(Q_3\) est la 18e donnée. Pour qu'elle soit 3, il faut :

• Le cumul avant 3 (effectifs de -1,0,1) doit être \(a+b+c < 18\) (sinon la 18e serait avant 3).

• Le cumul jusqu'à 3 (effectifs de -1,0,1,3) doit être \(a+b+c+d \ge 18\) (sinon la 18e serait après 3).

La médiane est la moyenne des 12e et 13e données. Analysons les positions possibles.

Les effectifs cumulés :

• \(S_{-1}=a\)

• \(S_0=a+b\)

• \(S_1=a+b+c\)

• \(S_3=a+b+c+d\)

• \(S_5=24\)

Les positions 12 et 13 peuvent se trouver dans différentes classes selon les valeurs.

Cas 1 : La 12e donnée est dans la classe 0. Cela nécessite \(a < 12\) et \(a+b \ge 12\). Alors la 12e vaut 0. La 13e peut être :

• Si \(a+b \ge 13\), alors la 13e est aussi dans 0, médiane = 0.

• Sinon, si \(a+b = 12\), alors la 13e est dans la classe 1, médiane = 0,5.

Cas 2 : La 12e donnée est dans la classe 1. Cela nécessite \(a+b < 12\) et \(a+b+c \ge 12\). Alors la 12e vaut 1. La 13e peut être :

• Si \(a+b+c \ge 13\), alors la 13e est aussi dans 1, médiane = 1.

• Sinon, si \(a+b+c = 12\), alors la 13e est dans la classe 3, médiane = 2.

Cas 3 : La 12e donnée est dans la classe 3. Cela nécessite \(a+b+c < 12\) et \(a+b+c+d \ge 12\). Alors la 12e vaut 3. La 13e peut être :

• Si \(a+b+c+d \ge 13\), alors la 13e est aussi dans 3, médiane = 3.

• Sinon, si \(a+b+c+d = 12\), alors la 13e est dans la classe 5, médiane = 4.

Cas 4 : La 12e donnée est dans la classe 5. Cela nécessite \(a+b+c+d < 12\), mais alors la somme totale serait \(<12+e\) avec \(e\ge1\), donc possible seulement si \(a+b+c+d \le 11\) et \(e\ge13\). Mais alors \(Q_3\) serait 5 (car la 18e serait dans 5), ce qui contredit \(Q_3=3\). Donc ce cas est impossible.

De même, la 12e ne peut être dans la classe -1 car \(a<6\) (condition \(Q_1=0\)) et \(a\ge1\), donc \(a\le5\), donc la 12e est après -1.

Ainsi les médianes possibles sont : 0 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4. Vérifions si toutes sont réalisables avec les contraintes \(Q_1=0\) et \(Q_3=3\).

• Médiane 0 : possible si \(a+b \ge 13\) et \(a<6\). Exemple : \(a=5\), \(b=8\), alors \(a+b=13\), il faut \(c,d,e\) tels que \(c+d+e=11\) et \(a+b+c<18\) (soit \(13+c<18\Rightarrow c<5\)) et \(a+b+c+d\ge18\). Avec \(c=4\), \(d=7\), \(e=0\) mais \(e\) non nul, donc ajuster. On peut prendre \(a=5,b=8,c=4,d=6,e=1\) : vérifions \(Q_1\) : \(a=5<6\), \(a+b=13\ge6\) OK ; \(Q_3\) : \(a+b+c=17<18\), \(a+b+c+d=23\ge18\) OK. Médiane : 12e et 13e dans 0 (car \(a+b=13\)), donc 0. Possible.

• Médiane 0,5 : possible si \(a+b=12\) et \(a<6\). Exemple : \(a=5,b=7\), alors \(a+b=12\). Il faut \(c,d,e\) avec \(c+d+e=12\), \(a+b+c<18\Rightarrow 12+c<18\Rightarrow c<6\), et \(a+b+c+d\ge18\). Avec \(c=5,d=7,e=0\) mais \(e\) non nul, donc \(c=5,d=6,e=1\) : \(12+5=17<18\), \(12+5+6=23\ge18\) OK. Médiane : 12e=0, 13e=1, donc 0,5.

• Médiane 1 : possible si \(a+b<12\) et \(a+b+c\ge13\). Exemple : \(a=3,b=8\) (somme 11), alors \(a+b+c\ge13\Rightarrow c\ge2\). Avec \(c=2\), \(d+e=11\), et \(a+b+c=13<18\) OK, \(a+b+c+d\ge18\Rightarrow d\ge5\). Prendre \(d=5,e=6\). Médiane : 12e et 13e dans 1 (car \(a+b+c=13\)), donc 1.

• Médiane 2 : possible si \(a+b+c=12\) et \(a+b<12\). Exemple : \(a=3,b=8,c=1\) (somme 12), alors \(d+e=12\), et \(a+b+c=12<18\) OK, \(a+b+c+d\ge18\Rightarrow d\ge6\). Prendre \(d=6,e=6\). Médiane : 12e=1, 13e=3, donc 2.

• Médiane 3 : possible si \(a+b+c<12\) et \(a+b+c+d\ge13\) avec la 12e dans 3. Exemple : \(a=3,b=4,c=4\) (somme 11), alors \(d\ge2\) pour que \(a+b+c+d\ge13\). Avec \(d=2\), \(e=11\) (car somme 24). Vérifions \(Q_3\) : \(a+b+c=11<18\), \(a+b+c+d=13<18\) ? Non, il faut \(a+b+c+d\ge18\) pour \(Q_3=3\). Donc \(d\) doit être au moins 7. Avec \(a=3,b=4,c=4\), \(d=7\) donne \(a+b+c+d=18\), \(e=6\). Alors \(a+b+c=11<12\), donc 12e dans 3 ? Oui car \(a+b+c=11<12\) et \(a+b+c+d=18\ge12\), donc 12e=3. 13e aussi dans 3 car \(18\ge13\), médiane=3. Possible.

• Médiane 4 : possible si \(a+b+c+d=12\) et \(a+b+c<12\). Exemple : \(a=3,b=4,c=4,d=1\) (somme 12), alors \(e=12\). Vérifions \(Q_3\) : \(a+b+c=11<18\), \(a+b+c+d=12<18\) ? Non, il faut \(\ge18\). Donc \(d\) doit être plus grand. Avec \(a=3,b=4,c=4\), \(d=7\) donne \(a+b+c+d=18\), mais alors \(a+b+c+d=18>12\), donc la 12e est dans 3. Pour avoir médiane 4, il faut \(a+b+c+d=12\) exactement, mais alors \(Q_3\) ne peut être 3 car \(a+b+c+d<18\). Donc médiane 4 impossible avec \(Q_3=3\). En effet, si la 12e est dans 3, alors \(a+b+c<12\) et \(a+b+c+d\ge12\). Pour que la 13e soit dans 5, il faut \(a+b+c+d=12\), mais alors \(a+b+c+d<18\), donc la 18e donnée serait après 3 (dans 5), ce qui contredit \(Q_3=3\). Donc médiane 4 impossible.

Ainsi les médianes possibles sont : 0 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 3.

5. Montrer que \([5,6,1,11,1]\) a la moyenne minimale parmi les séries choisies de médiane 2.

On considère les séries choisies avec \(M_e=2\). D'après la question 4, \(M_e=2\) correspond au cas où la 12e donnée est 1 et la 13e donnée est 3, donc \(a+b+c = 12\) et \(a+b < 12\) (car la 12e est dans 1). De plus, les conditions \(Q_1=0\) et \(Q_3=3\) donnent :

• \(a < 6\) et \(a+b \ge 6\) (pour \(Q_1=0\))

• \(a+b+c < 18\) et \(a+b+c+d \ge 18\) (pour \(Q_3=3\))

Avec \(a+b+c=12\), la condition \(a+b+c < 18\) est automatique. Il reste \(a+b+c+d \ge 18 \Rightarrow 12+d \ge 18 \Rightarrow d \ge 6\).

De plus, \(a+b+c=12\) et \(a+b < 12\) implique \(c \ge 1\) (car \(a+b \le 11\)). Et \(a+b \ge 6\) (car \(a<6\) et \(a+b\ge6\)).

La moyenne \(\bar x\) est :

\[\bar x = \frac{-1\cdot a + 0\cdot b + 1\cdot c + 3\cdot d + 5\cdot e}{24} = \frac{-a + c + 3d + 5e}{24}.\]

On a \(a+b+c+d+e=24\), donc \(e = 24 - (a+b+c+d) = 24 - (12+d) = 12 - d\).

Ainsi \(e = 12-d\). Comme \(e\ge1\), on a \(d \le 11\). Et \(d\ge6\). Donc \(d\in\{6,7,8,9,10,11\}\).

La moyenne devient :

\[\bar x = \frac{-a + c + 3d + 5(12-d)}{24} = \frac{-a + c + 3d + 60 - 5d}{24} = \frac{-a + c + 60 - 2d}{24}.\]

Mais \(c = 12 - (a+b)\). On ne connaît pas \(b\) directement. On peut exprimer \(b = 12 - a - c\). Les contraintes : \(a\ge1\), \(b\ge1\), \(c\ge1\), \(d\ge6\), \(e=12-d\ge1\). De plus \(a<6\) et \(a+b\ge6\).

Pour minimiser \(\bar x\), on veut minimiser le numérateur \(N = -a + c + 60 - 2d\). Comme \(c\) est positif, on veut \(c\) le plus petit possible et \(a\) le plus grand possible (car \(-a\) diminue N) et \(d\) le plus grand possible (car \(-2d\) diminue N). Mais attention : \(c\) et \(a\) sont liés par \(a+b+c=12\) et \(b\ge1\), donc \(a+c \le 11\). Pour \(a\) maximal, on prend \(a=5\) (car \(a<6\)). Alors \(c \le 6\) (car \(a+c\le11\)). Pour minimiser N, on veut \(c\) minimal, donc \(c=1\) (car \(c\ge1\)). Alors \(b = 12 - 5 - 1 = 6\), ce qui vérifie \(b\ge1\) et \(a+b=11\ge6\). Ensuite, pour \(d\) maximal, on prend \(d=11\) (car \(d\le11\)). Alors \(e=12-11=1\). Cela donne la série \([5,6,1,11,1]\). Vérifions les conditions : \(a=5<6\), \(a+b=11\ge6\), \(a+b+c=12\), \(d=11\ge6\), \(e=1\). \(Q_3\) : \(a+b+c+d=23\ge18\) OK. C'est une série choisie de médiane 2.

Calculons sa moyenne :

\[\bar x = \frac{-5 + 1 + 3\cdot11 + 5\cdot1}{24} = \frac{-5+1+33+5}{24} = \frac{34}{24} = \frac{17}{12} \approx 1,4167.\]

Montrons que c'est la minimale. Pour toute autre série, si on diminue \(a\) ou augmente \(c\) ou diminue \(d\), N augmente. En effet, \(N = -a + c + 60 - 2d\). Avec \(a\le5\), \(c\ge1\), \(d\le11\), le minimum de N est atteint pour \(a\) maximal (5), \(c\) minimal (1), \(d\) maximal (11), soit \(N = -5+1+60-22 = 34\). Toute autre combinaison donne \(N \ge 34\) (car si \(a<5\), \(-a > -5\) ; si \(c>1\), \(c>1\) ; si \(d<11\), \(-2d > -22\)). Donc la moyenne minimale est \(\frac{34}{24} = \frac{17}{12}\), atteinte par \([5,6,1,11,1]\).

6a. Déterminer celle de moyenne maximale.

On cherche à maximiser \(\bar x = \frac{-a + c + 3d + 5e}{24}\) sous les mêmes contraintes : \(a+b+c=12\), \(a<6\), \(a+b\ge6\), \(d\ge6\), \(e=12-d\ge1\), \(a,b,c,d,e\ge1\) entiers.

On a \(e=12-d\), donc \(\bar x = \frac{-a + c + 3d + 5(12-d)}{24} = \frac{-a + c + 60 - 2d}{24}\). Pour maximiser, on veut \(a\) minimal, \(c\) maximal, \(d\) minimal.

\(a\) minimal : \(a\ge1\) et \(a<6\), donc \(a=1\) possible si \(a+b\ge6\) et \(a+b+c=12\). Avec \(a=1\), on a \(b+c=11\). Pour maximiser \(c\), on prend \(b\) minimal, \(b\ge1\), donc \(b=1\) donne \(c=10\). Vérifions \(a+b=2\ge6\) ? Non, \(2<6\), donc \(Q_1\) ne serait pas 0 (car la 6e donnée serait après 0). Il faut \(a+b\ge6\). Donc avec \(a=1\), on doit avoir \(b\ge5\). Alors \(c = 12 - a - b = 11 - b\). Pour \(b\) minimal sous \(b\ge5\), on prend \(b=5\), alors \(c=6\). Vérifions \(a+b=6\ge6\) OK. Donc \(a=1,b=5,c=6\).

\(d\) minimal : \(d\ge6\), donc \(d=6\). Alors \(e=12-6=6\).

Cela donne la série \([1,5,6,6,6]\). Vérifions \(Q_3\) : \(a+b+c=1+5+6=12\), \(a+b+c+d=18\), donc \(Q_3=3\) (la 18e est la dernière de la classe 3). OK.

Calculons la moyenne :

\[\bar x = \frac{-1 + 6 + 3\cdot6 + 5\cdot6}{24} = \frac{-1+6+18+30}{24} = \frac{53}{24} \approx 2,2083.\]

Vérifions si on peut faire mieux. Si on prend \(a=2\), alors \(a+b\ge6\) donne \(b\ge4\). Pour maximiser \(c\), on prend \(b=4\), alors \(c=12-2-4=6\). \(d=6\) donne \(\bar x = \frac{-2+6+18+30}{24} = \frac{52}{24} < \frac{53}{24}\). Si on prend \(d=7\), alors \(e=5\), et \(\bar x = \frac{-a+c+60-14}{24} = \frac{-a+c+46}{24}\). Avec \(a=1,b=5,c=6\), on obtient \(\frac{-1+6+46}{24} = \frac{51}{24} < \frac{53}{24}\). Donc le maximum est bien pour \(a=1,b=5,c=6,d=6,e=6\).

6b. L'exprimer sous la forme \(\bar x = 2 + \frac{n}{24}\).

On a \(\bar x = \frac{53}{24} = 2 + \frac{5}{24}\). Donc \(n=5\).

7a. Exemple de série choisie de médiane 2 et moyenne 2.

On cherche une série avec \(M_e=2\) et \(\bar x = 2\). Soit \(\bar x = \frac{-a+c+3d+5e}{24} = 2\), donc \(-a+c+3d+5e = 48\). Avec \(a+b+c=12\) et \(e=12-d\), on a :

\[-a + c + 3d + 5(12-d) = 48 \Rightarrow -a + c + 60 - 2d = 48 \Rightarrow -a + c - 2d = -12 \Rightarrow c - a = 2d - 12.\]

De plus, \(a+b+c=12\) et \(b\ge1\), \(a<6\), \(a+b\ge6\), \(d\ge6\), \(e=12-d\ge1\).

Cherchons une solution simple. Prenons \(d=6\), alors \(c-a = 0\), donc \(c=a\). Alors \(a+b+a=12 \Rightarrow 2a+b=12\). Avec \(a<6\), \(a\ge1\), \(b\ge1\), et \(a+b\ge6\). Si \(a=4\), alors \(b=4\), \(c=4\), \(d=6\), \(e=6\). Vérifions : \(a+b=8\ge6\), \(a+b+c=12\), \(d=6\), \(e=6\). Moyenne : \(\frac{-4+4+18+30}{24} = \frac{48}{24}=2\). Donc \([4,4,4,6,6]\) est un exemple (c'est la série de la question 3).

7b. Les déterminer toutes.

On a l'équation \(c - a = 2d - 12\). Avec \(d\) entier entre 6 et 11. Pour chaque \(d\), on a \(c = a + 2d - 12\). De plus, \(a+b+c=12\) donne \(b = 12 - a - c = 12 - a - (a+2d-12) = 24 - 2a - 2d\).

Les contraintes :

• \(a\ge1\), \(b\ge1\), \(c\ge1\), \(d\ge6\), \(e=12-d\ge1\).

• \(a<6\) (car \(Q_1=0\) nécessite \(a<6\)).

• \(a+b\ge6\) (car \(Q_1=0\) nécessite \(a+b\ge6\)).

• \(a+b+c=12\) déjà utilisé.

• \(d\ge6\) et \(d\le11\).

De plus, \(b = 24 - 2a - 2d \ge 1 \Rightarrow 2a+2d \le 23 \Rightarrow a+d \le 11,5 \Rightarrow a+d \le 11\) (car entiers).

\(c = a+2d-12 \ge 1 \Rightarrow a+2d \ge 13\).

\(a \ge 1\).

\(a < 6\) donc \(a \le 5\).

\(d \ge 6\).

On a aussi \(a+b = a + (24-2a-2d) = 24 - a - 2d \ge 6 \Rightarrow 24 - a - 2d \ge 6 \Rightarrow a+2d \le 18\). Cette condition est moins forte que \(a+2d \ge 13\) et \(a\le5\), \(d\ge6\) donne \(a+2d \le 5+22=27\), donc à vérifier.

En résumé :

\[\begin{cases}

1 \le a \le 5 \\

6 \le d \le 11 \\

a+d \le 11 \\

a+2d \ge 13 \\

a+2d \le 18 \quad (\text{de } a+b\ge6) \\

b = 24-2a-2d \ge 1 \\

c = a+2d-12 \ge 1 \\

e = 12-d \ge 1

\end{cases}\]

De \(a+d \le 11\) et \(d\ge6\), on a \(a \le 5\). De \(a+2d \ge 13\) et \(d\ge6\), on a \(a \ge 13-2d\). Pour chaque \(d\), on liste les \(a\) possibles.

• \(d=6\) : \(a+12 \ge 13 \Rightarrow a \ge 1\). \(a+d \le 11 \Rightarrow a \le 5\). \(a+2d \le 18 \Rightarrow a+12 \le 18 \Rightarrow a \le 6\), toujours vrai. \(b=24-2a-12=12-2a \ge 1 \Rightarrow a \le 5,5\) donc \(a \le 5\). \(c=a+12-12=a \ge 1\). Donc \(a=1,2,3,4,5\). Mais \(b=12-2a\) doit être \(\ge1\), donc \(a\le5\). Pour \(a=5\), \(b=2\) ; \(a=4\), \(b=4\) ; \(a=3\), \(b=6\) ; \(a=2\), \(b=8\) ; \(a=1\), \(b=10\). Tous vérifient \(a+b\ge6\) ? Pour \(a=1\), \(b=10\), \(a+b=11\ge6\) OK. Donc 5 séries : \([1,10,1,6,6]\), \([2,8,2,6,6]\), \([3,6,3,6,6]\), \([4,4,4,6,6]\), \([5,2,5,6,6]\).

• \(d=7\) : \(a+14 \ge 13 \Rightarrow a \ge -1\) (toujours). \(a+d \le 11 \Rightarrow a \le 4\). \(a+2d \le 18 \Rightarrow a+14 \le 18 \Rightarrow a \le 4\). \(b=24-2a-14=10-2a \ge 1 \Rightarrow a \le 4,5\) donc \(a \le 4\). \(c=a+14-12=a+2 \ge 1\) toujours. Donc \(a=1,2,3,4\). Pour \(a=4\), \(b=2\) ; \(a=3\), \(b=4\) ; \(a=2\), \(b=6\) ; \(a=1\), \(b=8\). Vérifions \(a+b\ge6\) : pour \(a=1\), \(b=8\), OK. Donc 4 séries : \([1,8,3,7,5]\), \([2,6,4,7,5]\), \([3,4,5,7,5]\), \([4,2,6,7,5]\).

• \(d=8\) : \(a+16 \ge 13 \Rightarrow a \ge -3\) (toujours). \(a+d \le 11 \Rightarrow a \le 3\). \(a+2d \le 18 \Rightarrow a+16 \le 18 \Rightarrow a \le 2\). Donc \(a \le 2\). \(c=a+16-12=a+4\), \(b=24-2a-16=8-2a\). Pour \(a=1\) : \(b=6\), \(c=5\), \(a+b=7\ge6\) OK. Pour \(a=2\) : \(b=4\), \(c=6\), \(a+b=6\ge6\) OK (limite). Donc 2 séries : \([1,6,5,8,4]\), \([2,4,6,8,4]\).

• \(d\ge9\) : la contrainte \(a+2d\le18\) donnerait \(a\le0\), incompatible avec \(a\ge1\). Aucune série supplémentaire.

Au total, il y a exactement 11 séries choisies de médiane 2 et de moyenne 2 : les 5 séries en \(d=6\), les 4 en \(d=7\), et les 2 en \(d=8\) ci-dessus.

8. Déterminer l'unique série choisie telle que \(M_e=\bar x=\sigma=2\).

Il suffit de calculer l'écart-type \(\sigma\) (ou la variance \(\sigma^2\)) pour chacune des 11 séries de la question 7b, et de chercher celle où \(\sigma=2\) (soit \(\sigma^2=4\)). Un calcul direct de \(\sigma^2=\frac1{24}\sum n_i(v_i-\bar x)^2\) pour chacune montre qu'une seule vérifie \(\sigma^2=4\) : la série \([1,8,3,7,5]\) (\(a=1,b=8,c=3,d=7,e=5\), celle trouvée en \(d=7\)). Vérification : \(\bar x=2\), et \(\sigma^2=\frac1{24}\left[1(-1-2)^2+8(0-2)^2+3(1-2)^2+7(3-2)^2+5(5-2)^2\right]=\frac{9+32+3+7+45}{24}=\frac{96}{24}=4\), soit \(\sigma=2\). Les 10 autres séries de la question 7b ont toutes une variance différente de 4. C'est donc l'unique série choisie telle que \(M_e=\bar x=\sigma=2\).