Exercice national 2 — Nombres sectionnables (spécialité maths)

A2. \(a=\dfrac{p(p+1)}2\iff8a+1=(2p+1)^2\) : \(a\) est sectionnable unitaire ssi \(8a+1\) est un carré parfait impair.

B3-4. \(2S=k(k+1+2q)\) : l'un des deux facteurs \(k\) et \(k+1+2q\) est pair, l'autre impair (ils diffèrent d'une quantité impaire dès que \(k\ge2\)). Si \(S=2^r\), l'un des deux facteurs, impair, ne peut valoir que 1 : en déduire une contradiction pour \(k\ge2\).

B5. Utiliser \(n=2^r\times m\) : chercher \(k\) et \(q\) en fonction de \(r\) et \(m\) pour satisfaire \(2n=k(k+1+2q)\), en faisant jouer les rôles de facteur pair/impair à \(2^{r+1}\) et \(m\) (ou l'inverse).

C2a. Pour \(k\ge3\), \(n=\dfrac{k(k+1+2q)}2\) : montrer que cette expression admet un diviseur non trivial (distinct de 1 et \(n\)) en étudiant les facteurs \(k\) et \((k+1+2q)/2\) ou similaire selon la parité de \(k\).

Partie A

1a. Montrer que 21 et 136 sont sectionnables unitaires.

Un entier \(a \ge 3\) est sectionnable unitaire s'il existe \(p \ge 2\) tel que :

\[a = 1 + 2 + \cdots + p = \frac{p(p+1)}{2}.\]

• Pour \(a = 21\) : on cherche \(p\) tel que \(\frac{p(p+1)}{2} = 21\), soit \(p(p+1) = 42\). Les solutions entières positives sont \(p=6\) car \(6 \times 7 = 42\). Donc \(21 = 1+2+3+4+5+6\) : 21 est sectionnable unitaire.

• Pour \(a = 136\) : on cherche \(p\) tel que \(\frac{p(p+1)}{2} = 136\), soit \(p(p+1) = 272\). On teste \(p=16\) : \(16 \times 17 = 272\). Donc \(136 = 1+2+\cdots+16\) : 136 est sectionnable unitaire.

1b. 1850 est-il sectionnable unitaire ?

On résout \(\frac{p(p+1)}{2} = 1850\), soit \(p(p+1) = 3700\). On cherche un entier \(p\) vérifiant cette équation. La racine carrée de 3700 est environ 60,8. On teste \(p=60\) : \(60 \times 61 = 3660\) (trop petit). \(p=61\) : \(61 \times 62 = 3782\) (trop grand). Aucun entier \(p\) ne convient. Donc 1850 n'est pas sectionnable unitaire.

2. Condition nécessaire et suffisante sur \(a \ge 3\) pour être sectionnable unitaire.

Un entier \(a \ge 3\) est sectionnable unitaire si et seulement si \(8a+1\) est un carré parfait impair.

En effet, \(a = \frac{p(p+1)}{2}\) équivaut à \(2a = p(p+1)\), soit \(p^2 + p - 2a = 0\). Le discriminant est \(\Delta = 1 + 8a\). Pour que \(p\) soit entier, il faut que \(\Delta\) soit un carré parfait. De plus, \(p = \frac{-1 + \sqrt{1+8a}}{2}\) doit être entier \(\ge 2\). Donc \(\sqrt{1+8a}\) doit être un entier impair (car \(1+8a\) est impair). Ainsi, la condition nécessaire et suffisante est : \(8a+1\) est un carré parfait impair.

Partie B

1. 9 et 15 sont sectionnables, pas 16.

• 9 : on peut écrire \(9 = 4+5\) (deux entiers consécutifs). Donc 9 est sectionnable.

• 15 : \(15 = 7+8\) ou \(15 = 4+5+6\). Donc 15 est sectionnable.

• 16 : on cherche une somme d'au moins deux entiers consécutifs positifs égale à 16. Les sommes possibles : \(7+8=15\), \(8+9=17\), \(5+6+7=18\), \(4+5+6+7=22\), etc. Aucune ne donne 16. Donc 16 n'est pas sectionnable.

2. Tout impair \(\ge 3\) est sectionnable.

Soit \(n\) impair, \(n \ge 3\). On peut écrire \(n = \frac{n-1}{2} + \frac{n+1}{2}\). Ce sont deux entiers consécutifs (car \(\frac{n+1}{2} - \frac{n-1}{2} = 1\)), et ils sont positifs car \(n \ge 3\). Donc tout impair \(\ge 3\) est sectionnable.

3. Pour \(S = (q+1) + \cdots + (q+k)\), montrer \(2S = k(k+1+2q)\).

La somme \(S\) est une suite arithmétique de \(k\) termes, de premier terme \(q+1\) et de dernier terme \(q+k\). La somme est :

\[S = \frac{k \times ((q+1)+(q+k))}{2} = \frac{k(2q+1+k)}{2}.\]

Donc \(2S = k(2q+1+k) = k(k+1+2q)\).

4. Une puissance de 2 n'est jamais sectionnable.

Soit \(n = 2^r\) avec \(r \ge 1\). Supposons que \(n\) soit sectionnable : il existe \(k \ge 2\) et \(q \ge 0\) tels que \(n = (q+1)+\cdots+(q+k)\). D'après la question 3, \(2n = k(k+1+2q)\). Le membre de droite est le produit de deux entiers de parités différentes (car \(k\) et \(k+1+2q\) sont de parités opposées : si \(k\) est pair, \(k+1+2q\) est impair, et inversement). Donc \(2n\) a un facteur impair. Mais \(2n = 2^{r+1}\) n'a que des facteurs 2, donc aucun facteur impair. Contradiction. Donc une puissance de 2 n'est jamais sectionnable.

5. Pour \(n = 2^r \times m\) avec \(m\) impair \(\ge 3\).

a) Cas \(n=56\) : écrire comme somme de consécutifs.

\(56 = 2^3 \times 7\) (car \(56 = 8 \times 7\)). On cherche une écriture. On peut utiliser la méthode : on cherche \(k\) tel que \(2n = k(k+1+2q)\). Pour \(k=7\) (diviseur impair de \(2n\)), on a \(2 \times 56 = 112 = 7 \times 16\), donc \(k=7\) et \(k+1+2q = 16\) donne \(7+1+2q=16 \Rightarrow 2q=8 \Rightarrow q=4\). Alors la somme est \(5+6+7+8+9+10+11 = 56\). Donc \(56 = 5+6+7+8+9+10+11\).

b) Montrer 44 sectionnable.

\(44 = 2^2 \times 11\). On cherche un diviseur impair \(k\) de \(2 \times 44 = 88\). Les diviseurs impairs de 88 sont 1 et 11. \(k=11\) donne \(k+1+2q = 8\) (car \(11 \times 8 = 88\)), soit \(11+1+2q=8 \Rightarrow 2q=-4\) impossible. \(k=1\) ne convient pas car \(k \ge 2\). On peut aussi prendre \(k=4\) (pair) mais alors \(k+1+2q\) doit être impair. \(k=4\) donne \(4 \times 22 = 88\), donc \(4+1+2q=22 \Rightarrow 2q=17\) impossible. On essaie \(k=8\) : \(8 \times 11 = 88\), donc \(8+1+2q=11 \Rightarrow 2q=2 \Rightarrow q=1\). Alors la somme est \(2+3+4+5+6+7+8+9 = 44\). Donc 44 est sectionnable.

c) Généraliser : tout entier pair non puissance de 2 est sectionnable.

Soit \(n\) pair non puissance de 2. Alors \(n = 2^r \times m\) avec \(r \ge 1\) et \(m\) impair \(\ge 3\). On a \(2n = 2^{r+1} \times m\). On cherche un entier \(k\) tel que \(2n = k(k+1+2q)\). On peut choisir \(k = m\) (qui est impair et \(\ge 3\)). Alors \(k+1+2q = 2^{r+1}\). On résout : \(m+1+2q = 2^{r+1} \Rightarrow 2q = 2^{r+1} - m - 1\). Puisque \(m\) est impair, \(2^{r+1} - m - 1\) est pair (car \(2^{r+1}\) est pair, \(m\) impair, donc \(2^{r+1} - m\) est impair, moins 1 donne pair). Donc \(q\) est entier. De plus, \(q \ge 0\) car \(2^{r+1} \ge m+1\) (car \(m \le 2^{r+1} - 1\) ? En fait, il faut vérifier que \(q \ge 0\). On a \(2^{r+1} \ge m+1\) car \(m \le 2^{r+1} - 1\) ? Non, \(m\) peut être plus grand que \(2^{r+1}\). Exemple : \(n=12 = 2^2 \times 3\), \(2^{r+1}=8\), \(m=3\), \(8 \ge 4\) ok. Mais si \(m > 2^{r+1}\), on peut choisir \(k = 2^{r+1}\) (pair) et alors \(k+1+2q = m\) (impair). Cela donne \(2^{r+1}+1+2q = m \Rightarrow 2q = m - 2^{r+1} - 1\). Puisque \(m\) est impair et \(2^{r+1}\) pair, \(m - 2^{r+1} - 1\) est pair. Et \(q \ge 0\) car \(m \ge 2^{r+1}+1\). Donc dans tous les cas, on peut trouver une écriture. Ainsi, tout entier pair non puissance de 2 est sectionnable.

6. Conclure : quels sont tous les nombres sectionnables ?

D'après les questions précédentes :

• Les impairs \(\ge 3\) sont sectionnables (question 2).

• Les puissances de 2 ne sont pas sectionnables (question 4).

• Les pairs non puissances de 2 sont sectionnables (question 5c).

Donc les nombres sectionnables sont tous les entiers \(\ge 3\) sauf les puissances de 2. Autrement dit, un entier \(n \ge 3\) est sectionnable si et seulement si \(n\) n'est pas une puissance de 2.

Partie C

1. 13 est-il uniquement sectionnable ? Et 25 ?

• 13 est impair \(\ge 3\), donc sectionnable. Écriture possible : \(13 = 6+7\). Y a-t-il d'autres écritures ? On cherche \(k \ge 2\) et \(q \ge 0\) tels que \(13 = (q+1)+\cdots+(q+k)\). D'après la formule, \(26 = k(k+1+2q)\). Les diviseurs de 26 sont 1,2,13,26. Pour \(k=2\) : \(2(3+2q)=26 \Rightarrow 3+2q=13 \Rightarrow 2q=10 \Rightarrow q=5\), donne \(6+7\). Pour \(k=13\) : \(13(14+2q)=26 \Rightarrow 14+2q=2 \Rightarrow 2q=-12\) impossible. Pour \(k=1\) non autorisé. Donc une seule écriture. 13 est uniquement sectionnable.

• 25 : impair, sectionnable. \(25 = 12+13\). Autres écritures ? \(50 = k(k+1+2q)\). Diviseurs de 50 : 1,2,5,10,25,50. \(k=2\) : \(2(3+2q)=50 \Rightarrow 3+2q=25 \Rightarrow 2q=22 \Rightarrow q=11\), donne \(12+13\). \(k=5\) : \(5(6+2q)=50 \Rightarrow 6+2q=10 \Rightarrow 2q=4 \Rightarrow q=2\), donne \(3+4+5+6+7 = 25\). Donc deux écritures. 25 n'est pas uniquement sectionnable.

2a. Si \(n = (q+1)+\cdots+(q+k)\) avec \(k \ge 3\), montrer que \(n\) n'est pas premier.

On a \(2n = k(k+1+2q)\). Puisque \(k \ge 3\), \(k\) est un diviseur de \(2n\) strictement supérieur à 1. De plus, \(k+1+2q \ge k+1 \ge 4\). Donc \(2n\) a au moins deux facteurs \(k\) et \(k+1+2q\) tous deux \(\ge 2\). Si \(n\) était premier, alors \(2n\) aurait pour diviseurs 1,2,\(n\),\(2n\). Mais \(k\) est un diviseur de \(2n\) différent de 1 et de 2 (car \(k \ge 3\)), donc \(k\) serait égal à \(n\) ou à \(2n\). Si \(k=n\), alors \(k+1+2q = 2\), impossible car \(k+1+2q \ge 4\). Si \(k=2n\), alors \(k+1+2q = 1\), impossible. Donc \(n\) ne peut pas être premier.

2b. En déduire que tout nombre premier \(\ge 3\) est uniquement sectionnable.

Soit \(p\) un nombre premier \(\ge 3\). D'après la partie B, tout impair \(\ge 3\) est sectionnable, donc \(p\) admet l'écriture à \(k=2\) termes \(p=\frac{p-1}2+\frac{p+1}2\). Si \(p\) admettait une autre écriture, celle-ci aurait nécessairement \(k\ge3\) termes (une écriture à \(k=2\) termes est unique pour un \(n\) donné, car \(q=\frac{n-1}2\) est alors déterminé de façon unique), mais d'après 2a cela impliquerait que \(p\) n'est pas premier — contradiction. Donc l'écriture à 2 termes est la seule : tout nombre premier \(\ge3\) est uniquement sectionnable.