Exercice académique 3 — Nombres polis (séries technologiques)

2. Un impair \(2m+1\) (\(m\ge1\)) s'écrit \(m+(m+1)\).

3. Un multiple de 3, \(3m\) (\(m\ge1\)), s'écrit \((m-1)+m+(m+1)\).

6. Utiliser la formule de la question 5 : \(2^n=\dfrac{(k+1)(k+2a)}2\) impose que \(k+1\) et \(k+2a\) soient tous deux des puissances de 2 (car leur produit l'est) ; étudier leur parité respective sachant que l'une des deux quantités \(k+1\) et \(k+2a\) est nécessairement impaire dès que \(k\ge1\).

8. S'appuyer sur la propriété admise (question 7) : un nombre n'est pas poli exactement quand il n'a aucun diviseur impair autre que 1, c'est-à-dire quand c'est une puissance de 2. Chercher la plus grande puissance de 2 inférieure à 2022.

9-10. Factoriser \(2022=2\times3\times337\) pour en lister les diviseurs impairs (autres que 1), qui donnent directement le nombre — et la forme — des écritures possibles via la formule de la question 5.

1. Montrer que 9 est deux fois poli.

Un nombre est poli s'il peut s'écrire comme somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs non nuls. Pour 9, cherchons deux écritures distinctes.

• Première écriture : \(4 + 5 = 9\). En effet, \(4+5 = 9\).

• Deuxième écriture : \(2 + 3 + 4 = 9\). En effet, \(2+3+4 = 9\).

On a trouvé deux sommes différentes d'au moins deux entiers consécutifs non nuls. Donc 9 est deux fois poli.

2. Tout impair \(\ge 3\) est poli.

Soit \(n\) un entier impair, \(n \ge 3\). Alors \(n\) peut s'écrire \(n = 2k+1\) avec \(k \ge 1\) (car \(n \ge 3\) donne \(k \ge 1\)). On peut écrire :

\[n = k + (k+1).\]

En effet, \(k + (k+1) = 2k+1 = n\). Comme \(k \ge 1\), les deux termes sont des entiers naturels non nuls. Donc tout impair \(\ge 3\) est poli.

3. Tout multiple de 3 \(\ge 3\) est poli.

Soit \(n\) un multiple de 3, \(n \ge 3\). Alors \(n = 3m\) avec \(m \ge 1\). On peut écrire :

\[n = (m-1) + m + (m+1).\]

En effet, \((m-1) + m + (m+1) = 3m = n\). Pour que les termes soient des entiers naturels non nuls, il faut \(m-1 \ge 1\), soit \(m \ge 2\). Si \(m = 1\), alors \(n = 3\) et l'écriture serait \(0+1+2\) mais 0 n'est pas autorisé (entiers naturels non nuls). Cependant, pour \(n=3\), on peut utiliser l'écriture \(1+2 = 3\) (somme de deux consécutifs) qui fonctionne car 3 est impair (question 2). Pour \(m \ge 2\) (donc \(n \ge 6\)), l'écriture \((m-1)+m+(m+1)\) est valide. Ainsi, tout multiple de 3 \(\ge 3\) est poli (soit par la question 2 pour 3, soit par cette construction pour les autres).

4. 8 n'est pas poli.

Montrons qu'il n'existe aucune somme d'au moins deux entiers naturels consécutifs non nuls égale à 8.

Soit une somme de \(k+1\) termes consécutifs (avec \(k \ge 1\)) : \(a + (a+1) + \dots + (a+k) = 8\). D'après la formule de la question 5 (que nous démontrerons plus tard), on a :

\[\frac{(k+1)(2a+k)}{2} = 8 \quad \Rightarrow \quad (k+1)(2a+k) = 16.\]

\(k+1\) et \(2a+k\) sont des entiers positifs, avec \(k+1 \ge 2\) et \(2a+k \ge k+2\) (car \(a \ge 1\)). Les diviseurs de 16 sont : 1, 2, 4, 8, 16. On teste les possibilités pour \(k+1\) :

• Si \(k+1 = 2\), alors \(k=1\) et \(2a+1 = 8 \Rightarrow 2a = 7 \Rightarrow a = 3.5\) (non entier).

• Si \(k+1 = 4\), alors \(k=3\) et \(2a+3 = 4 \Rightarrow 2a = 1 \Rightarrow a = 0.5\) (non entier).

• Si \(k+1 = 8\), alors \(k=7\) et \(2a+7 = 2 \Rightarrow 2a = -5\) (impossible car \(a \ge 1\)).

• Si \(k+1 = 16\), alors \(k=15\) et \(2a+15 = 1\) (impossible).

Aucune solution entière avec \(a \ge 1\) et \(k \ge 1\). Donc 8 n'est pas poli.

5. Montrer que \(a+(a+1)+\cdots+(a+k)=\dfrac{(k+1)(k+2a)}{2}\).

La somme est une suite arithmétique de premier terme \(a\), de raison 1, et de \(k+1\) termes. La somme des termes d'une suite arithmétique est :

\[S = \frac{\text{(nombre de termes)} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}.\]

Ici, nombre de termes = \(k+1\), premier terme = \(a\), dernier terme = \(a+k\). Donc :

\[S = \frac{(k+1)(a + (a+k))}{2} = \frac{(k+1)(2a+k)}{2}.\]

C'est bien la formule demandée.

6. Les puissances de 2 (\(2^n\), \(n\ge1\)) ne sont jamais polies.

Soit \(n = 2^m\) avec \(m \ge 1\). Supposons que \(n\) soit poli : il existe \(a \ge 1\) et \(k \ge 1\) tels que :

\[\frac{(k+1)(2a+k)}{2} = 2^m \quad \Rightarrow \quad (k+1)(2a+k) = 2^{m+1}.\]

Le produit \((k+1)(2a+k)\) est une puissance de 2. Donc \(k+1\) et \(2a+k\) sont tous deux des puissances de 2 (car ce sont des entiers positifs). Notons \(k+1 = 2^p\) et \(2a+k = 2^q\) avec \(p,q \ge 0\) et \(p+q = m+1\). De plus, \(k = 2^p - 1\). Alors :

\[2a + (2^p - 1) = 2^q \quad \Rightarrow \quad 2a = 2^q - 2^p + 1.\]

Le membre de droite est impair (car \(2^q - 2^p\) est pair, plus 1 donne impair). Donc \(2a\) est impair, ce qui est impossible car \(2a\) est pair. Contradiction. Ainsi, aucune puissance de 2 (avec \(n \ge 2\)) n'est polie. Pour \(n=1\) (qui est \(2^0\)), ce n'est pas considéré car \(n \ge 3\) dans la définition implicite (mais 1 n'est pas somme d'au moins deux entiers consécutifs non nuls). Donc toutes les puissances de 2 (\(2^n\), \(n\ge1\)) ne sont jamais polies.

7. Propriété admise : le nombre d'écritures d'un entier \(n\) en somme de consécutifs égale son nombre de diviseurs impairs \(\ne 1\). Vérifier pour \(n=10\) et \(n=15\).

• Pour \(n=10\) : les diviseurs de 10 sont 1, 2, 5, 10. Les diviseurs impairs sont 1 et 5. Ceux différents de 1 : il y en a un seul (5). Donc la propriété prédit 1 écriture. Vérifions : les sommes possibles pour 10 sont \(1+2+3+4 = 10\) (4 termes) et \(10\) seul (non autorisé). Donc une seule écriture : \(1+2+3+4\). C'est correct.

• Pour \(n=15\) : les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, 15. Les diviseurs impairs sont 1, 3, 5, 15. Ceux différents de 1 : il y en a trois (3, 5, 15). Donc la propriété prédit 3 écritures. Vérifions : \(15 = 7+8\) (2 termes), \(= 4+5+6\) (3 termes), \(= 1+2+3+4+5\) (5 termes). Soit trois écritures. C'est correct.

8. Plus grand entier \(<2022\) qui n'est pas poli.

D'après la propriété admise (question 7), un entier n'est pas poli exactement quand il n'a aucun diviseur impair \(>1\), c'est-à-dire quand c'est une puissance de 2 (déjà établi à la question 6). La plus grande puissance de 2 inférieure à 2022 est \(2^{10}=1024\) (car \(2^{11}=2048>2022\)). Le plus grand entier \(<2022\) qui n'est pas poli est donc 1024.

9. Toutes les écritures de 2022 en somme de consécutifs.

D'après la propriété admise, le nombre d'écritures est le nombre de diviseurs impairs de \(2022=2\times3\times337\) (337 premier) différents de 1, soit 3, 337, 1011 : trois écritures attendues. Chaque écriture à \(d\) termes centrés autour de \(n/d\) a pour premier terme \(a=\frac{n}{d}-\frac{d-1}2\), valide seulement si \(a\ge1\) ; quand ce n'est pas le cas pour un diviseur impair \(d\) « trop grand », l'écriture correspondante existe quand même mais avec un nombre pair de termes égal à \(2n/d\). En cherchant directement les diviseurs \(D\) de \(2n=4044=2^2\times3\times337\) tels que \(a=\frac{4044/D-(D-1)}2\) soit un entier \(\ge1\), on trouve exactement \(D=3,4,12\) :

• \(D=3\) : \(673+674+675=2022\)

• \(D=4\) : \(504+505+506+507=2022\)

• \(D=12\) : \(163+164+\cdots+174=2022\)

Ce sont bien les trois écritures annoncées par la propriété admise.

10. Parmi les entiers \(<2022\), lesquels sont les plus polis (le plus grand nombre d'écritures) ?

D'après la propriété admise, le nombre d'écritures d'un entier \(n\) égale le nombre de diviseurs impairs \(>1\) de sa partie impaire (le plus grand diviseur impair de \(n\)) — donc pour maximiser ce nombre, il faut maximiser le nombre de diviseurs d'un impair \(m<2022\) (multiplier \(n=2^k m\) par une puissance de 2 ne change rien au compte, tant que \(n<2022\)). L'entier impair \(1575=3^2\times5^2\times7\) a \(3\times3\times2=18\) diviseurs, donc 17 diviseurs impairs \(>1\) : c'est le maximum atteint pour \(n<2022\), et 1575 est le seul entier \(<2022\) à l'atteindre (aucun multiple \(2\times1575=3150\) ne reste \(<2022\)). 1575 est donc l'unique entier le plus poli en dessous de 2022, avec 17 écritures différentes.