Exercice académique 2 — Machines à sous (spécialité maths)

3-4. Nombre de combinaisons « petit lot » (pour \(n\) symboles) : choisir le symbole répété (\(n\) choix), le symbole isolé différent (\(n-1\) choix), et sa position parmi les 3 rouleaux (3 choix) : soit \(3n(n-1)\).

8a. Résoudre \((3n-3)x+y=n^2\) en \(y\).

9a. Substituer \(y=2x\) dans l'équation d'équité \((3n-3)x+y=n^2\) pour isoler \(x\), puis étudier à quelle condition \(x\) est un entier.

10b. Substituer \(y=2022\) dans la même équation pour exprimer \(x\) en fonction de \(n\), puis traduire « \(x\) entier naturel non nul » en une condition de divisibilité.

11. Substituer \(y=x^2\) et résoudre l'équation du second degré en \(x\) obtenue en fonction de \(n\), en ne retenant que les solutions entières.

1. Nombre total de combinaisons pour \(n=10\)

Chaque rouleau comporte \(n=10\) symboles distincts. Les trois rouleaux sont indépendants. Le nombre total de triplets ordonnés (combinaisons) est :

\[10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000.\]

2. Combinaisons du gros lot pour \(n=10\)

Le gros lot correspond à trois symboles identiques. Pour un symbole donné, il y a exactement une combinaison : (symbole, symbole, symbole). Comme il y a \(n=10\) symboles distincts, le nombre de combinaisons du gros lot est :

\[10.\]

3. Combinaisons du petit lot pour \(n=10\)

a) Trois combinaisons avec deux « 3 » et un « 5 »

On cherche les triplets contenant exactement deux fois le symbole 3 et une fois le symbole 5. Les positions possibles pour le 5 sont : première, deuxième ou troisième. Cela donne les trois combinaisons :

\[(5,3,3),\quad (3,5,3),\quad (3,3,5).\]

b) Nombre total de combinaisons du petit lot

Le petit lot est obtenu quand exactement deux symboles sont identiques (et le troisième différent). Pour chaque symbole \(s\) (parmi 10), on choisit les deux positions où il apparaît : \(\binom{3}{2}=3\) choix. Pour la troisième position, on choisit un symbole différent de \(s\) : \(10-1=9\) choix. Donc pour un symbole \(s\) fixé, on a \(3 \times 9 = 27\) combinaisons. Comme il y a 10 symboles possibles pour la paire, le total est :

\[10 \times 27 = 270.\]

4. Montrer \(G(x,y)=\dfrac{27x+y}{100}\) pour \(n=10\)

Le gain moyen \(G(x,y)\) est la somme des gains pondérés par leurs probabilités (ou fréquences).

• Nombre total de combinaisons : \(1000\).

• Nombre de combinaisons du gros lot : \(10\) → gain \(y\) chacune.

• Nombre de combinaisons du petit lot : \(270\) → gain \(x\) chacune.

• Les autres combinaisons (ni petit ni gros lot) : \(1000 - 10 - 270 = 720\) → gain \(0\).

Le gain total sur toutes les combinaisons est :

\[10 \times y + 270 \times x + 720 \times 0 = 270x + 10y.\]

Le gain moyen est donc :

\[G(x,y) = \frac{270x + 10y}{1000} = \frac{27x + y}{100}.\]

5. Équité de \((1,50)\) et \((2,46)\)

Un couple \((x,y)\) est équitable si \(G(x,y)=1\) (mise de 1€). Avec \(n=10\), on a \(G(x,y)=\frac{27x+y}{100}=1 \iff 27x+y=100\).

• Pour \((1,50)\) : \(27\times1+50=77\neq100\) → non équitable.

• Pour \((2,46)\) : \(27\times2+46=54+46=100\) → équitable.

6. Lister tous les couples équitables pour \(n=10\)

On cherche tous les couples \((x,y)\) d’entiers naturels avec \(x\ge1\), \(y\ge x+1\) (car \(y\ge x+1\) d’après l’énoncé) et \(27x+y=100\).

On a \(y=100-27x\). Les conditions :

• \(x\ge1\) et \(y\ge x+1\).

• \(y\) entier \(\ge1\) donc \(100-27x\ge1 \Rightarrow 27x\le99 \Rightarrow x\le3\) (car \(x\) entier).

• \(x\ge1\) donc \(x\in\{1,2,3\}\).

Vérifions \(y\ge x+1\) :

• \(x=1\) : \(y=73\) → \(73\ge2\) ok.

• \(x=2\) : \(y=46\) → \(46\ge3\) ok.

• \(x=3\) : \(y=19\) → \(19\ge4\) ok.

Les couples équitables sont donc :

\[(1,73),\quad (2,46),\quad (3,19).\]

7. Alignement des points équitables

Les couples \((x,y)\) équitables vérifient \(27x+y=100\), soit \(y = -27x + 100\). C’est l’équation réduite d’une droite de pente \(-27\) et d’ordonnée à l’origine \(100\). Les trois points sont donc alignés sur cette droite.

8. Cas général \(n\ge3\)

On admet \(G(x,y)=\dfrac{(3n-3)x+y}{n^2}\). L’équité donne \(G(x,y)=1\) soit :

\[\frac{(3n-3)x+y}{n^2}=1 \quad\Rightarrow\quad (3n-3)x+y = n^2.\]

a) Exprimer \(y\) en fonction de \(n,x\)

\[y = n^2 - (3n-3)x.\]

b) Montrer \(x\le\dfrac{n^2-1}{3n-2}\)

Les conditions : \(x\ge1\), \(y\ge x+1\) (car \(y\ge x+1\) d’après l’énoncé).

De \(y\ge x+1\) on a :

\[n^2 - (3n-3)x \ge x+1 \quad\Rightarrow\quad n^2 -1 \ge (3n-3+1)x = (3n-2)x.\]

Donc \(x \le \dfrac{n^2-1}{3n-2}\).

c) Pour quels \(n\) y a-t-il exactement 2022 couples équitables ?

Les couples \((x,y)\) sont déterminés par \(x\) entier vérifiant \(1\le x\le \dfrac{n^2-1}{3n-2}\) et \(y=n^2-(3n-3)x\) doit être entier (automatique) et \(\ge x+1\). Le nombre de couples est le nombre d’entiers \(x\) dans cet intervalle. Notons \(M = \left\lfloor \dfrac{n^2-1}{3n-2} \right\rfloor\). Le nombre de couples est \(M\) (car \(x\) commence à 1). On veut \(M = 2022\).

Donc on cherche \(n\) tel que :

\[2022 \le \frac{n^2-1}{3n-2} < 2023.\]

Résolvons les deux inégalités.

1. \(\dfrac{n^2-1}{3n-2} \ge 2022\) :

\[n^2-1 \ge 2022(3n-2) \quad\Rightarrow\quad n^2 - 6066n + 4044 -1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad n^2 - 6066n + 4043 \ge 0.\]

Discriminant : \(\Delta = 6066^2 - 4\times4043 = 36796356 - 16172 = 36780184\).

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{36780184} = 6064.999...\) (vérifions : \(6065^2 = 36784225\), trop grand ; \(6064^2 = 36772096\), différence 8088 ; donc \(\sqrt{\Delta} \approx 6064.9993\)).

Les racines sont \(n = \frac{6066 \pm \sqrt{\Delta}}{2}\). La plus petite racine est environ \(\frac{6066 - 6065}{2}=0.5\), la grande environ \(\frac{6066+6065}{2}=6065.5\). Donc \(n\ge 6066\) environ. Plus précisément, \(n^2 - 6066n + 4043 \ge 0\) pour \(n\le n_1\) ou \(n\ge n_2\) avec \(n_1\approx 0.666\), \(n_2\approx 6065.333\). Comme \(n\ge3\), on a \(n\ge 6066\) (car \(n\) entier).

2. \(\dfrac{n^2-1}{3n-2} < 2023\) :

\[n^2-1 < 2023(3n-2) \quad\Rightarrow\quad n^2 - 6069n + 4046 -1 < 0 \quad\Rightarrow\quad n^2 - 6069n + 4045 < 0.\]

Discriminant : \(\Delta' = 6069^2 - 4\times4045 = 36832761 - 16180 = 36816581\).

\(\sqrt{\Delta'} = \sqrt{36816581} \approx 6067.666\) (car \(6068^2=36820624\), trop grand ; \(6067^2=36808489\), différence 8092 ; donc \(\sqrt{\Delta'}\approx 6067.666\)).

Racines : \(n = \frac{6069 \pm \sqrt{\Delta'}}{2}\). La petite racine est \(\frac{6069-6067.666}{2}=0.667\), la grande \(\frac{6069+6067.666}{2}=6068.333\). Donc \(n < 6068.333\) et \(n > 0.667\). Pour \(n\) entier, \(n \le 6068\).

En combinant les deux : \(n \ge 6066\) et \(n \le 6068\) donne \(n \in \{6066, 6067, 6068\}\). Vérifions le nombre de couples pour chaque :

• \(n=6066\) : \(\frac{n^2-1}{3n-2} = \frac{6066^2-1}{3\times6066-2} = \frac{36796356-1}{18198-2} = \frac{36796355}{18196} \approx 2022.000...\) Calcul exact : \(18196 \times 2022 = 18196\times2000 + 18196\times22 = 36392000 + 400312 = 36792312\). Reste \(36796355-36792312=4043\). Donc quotient exact = \(2022 + \frac{4043}{18196}\). \(4043 < 18196\) donc partie entière = 2022. Donc \(M=2022\).

• \(n=6067\) : \(\frac{6067^2-1}{3\times6067-2} = \frac{36808489-1}{18201-2} = \frac{36808488}{18199}\). \(18199\times2022 = 18199\times2000 + 18199\times22 = 36398000 + 400378 = 36798378\). Reste \(36808488-36798378=10110\). \(10110 < 18199\) donc partie entière = 2022. Donc \(M=2022\).

• \(n=6068\) : \(\frac{6068^2-1}{3\times6068-2} = \frac{36820624-1}{18204-2} = \frac{36820623}{18202}\). \(18202\times2022 = 18202\times2000 + 18202\times22 = 36404000 + 400444 = 36804444\). Reste \(36820623-36804444=16179\). \(16179 < 18202\) donc partie entière = 2022. Donc \(M=2022\).

Ainsi, pour \(n=6066, 6067, 6068\), il y a exactement 2022 couples équitables.

9. Cas \(y=2x\)

a) Condition d’équité

L’équité donne \((3n-3)x + 2x = n^2\) soit \((3n-1)x = n^2\). Donc \(x = \frac{n^2}{3n-1}\). Pour que \(x\) soit entier, il faut que \(3n-1\) divise \(n^2\). D’où \(3n-1 \mid n^2\).

b) Aucun couple \((x,2x)\) n’est équitable

On utilise l’identité donnée : \(1 = 9n^2 - (3n+1)(3n-1)\).

Si \(3n-1 \mid n^2\), alors \(3n-1\) divise toute combinaison linéaire de \(n^2\) et de \(3n-1\). En particulier, \(3n-1\) divise \(9n^2 - (3n+1)(3n-1) = 1\). Donc \(3n-1\) divise 1. Comme \(n\ge3\), \(3n-1 \ge 8\), donc impossible. Ainsi, il n’existe aucun \(n\) tel que \(3n-1 \mid n^2\), donc aucun couple \((x,2x)\) n’est équitable.

10. Cas \(y=2022\)

a) \((1,2022)\) ou \((2,2022)\) peuvent-ils être équitables ?

L’équité donne \((3n-3)x + 2022 = n^2\).

• Pour \(x=1\) : \(3n-3+2022 = n^2\) soit \(n^2 - 3n - 2019 = 0\). Discriminant : \(9+4\times2019=9+8076=8085\). \(\sqrt{8085}\) n’est pas entier (car \(89^2=7921\), \(90^2=8100\)), donc \(n\) non entier → impossible.

• Pour \(x=2\) : \(2(3n-3)+2022 = n^2\) soit \(6n-6+2022 = n^2\) → \(n^2 - 6n - 2016 = 0\). Discriminant : \(36+4\times2016=36+8064=8100=90^2\). Donc \(n = \frac{6\pm90}{2}\). La solution positive est \(n=48\). Vérifions : \(n=48\) donne \(x=2\), \(y=2022\), et \(G=\frac{(3\times48-3)\times2+2022}{48^2} = \frac{(144-3)\times2+2022}{2304} = \frac{141\times2+2022}{2304} = \frac{282+2022}{2304} = \frac{2304}{2304}=1\). Donc \((2,2022)\) est équitable pour \(n=48\).

b) Condition pour \((x,2022)\) équitable

L’équité donne \((3n-3)x + 2022 = n^2\) soit \(3(n-1)x = n^2 - 2022\). Donc \(x = \frac{n^2-2022}{3(n-1)}\). Pour que \(x\) soit entier, il faut que \(n-1\) divise \(n^2-2022\). De plus, \(x\ge1\) et \(y\ge x+1\) donne \(2022 \ge x+1\) soit \(x\le 2021\).

Montrons \(n\ge45\) : comme \(x\ge1\), on a \(n^2-2022 \ge 3(n-1)\) soit \(n^2 - 3n - 2019 \ge 0\). Le discriminant de \(n^2-3n-2019=0\) est \(9+8076=8085\), racine positive \(\frac{3+\sqrt{8085}}{2} \approx \frac{3+89.92}{2}=46.46\). Donc \(n\ge 47\) (car \(n\) entier). Vérifions \(n=46\) : \(46^2-3\times46-2019=2116-138-2019=-41<0\), donc \(n\ge47\). Mais l’énoncé dit \(n\ge45\), peut-être une approximation. En réalité, \(n\ge47\) est plus précis. Acceptons \(n\ge45\) comme donné.

c) Valeurs de \(n\) possibles et \(x\) correspondant

On cherche \(n\) tel que \(n-1 \mid n^2-2022\). Écrivons \(n^2-2022 = (n-1)(n+1) - 2021\). Donc \(n-1 \mid 2021\). Factorisons \(2021 = 43 \times 47\) (car \(43\times47=2021\)). Les diviseurs positifs de 2021 sont \(1, 43, 47, 2021\). Donc \(n-1 \in \{1, 43, 47, 2021\}\) soit \(n \in \{2, 44, 48, 2022\}\). Mais \(n\ge3\) et \(n\ge45\) (d’après b) donc \(n=48\) ou \(n=2022\).

Calculons \(x\) :

• \(n=48\) : \(x = \frac{48^2-2022}{3\times47} = \frac{2304-2022}{141} = \frac{282}{141}=2\).

• \(n=2022\) : \(x = \frac{2022^2-2022}{3\times2021} = \frac{2022(2022-1)}{3\times2021} = \frac{2022\times2021}{3\times2021} = \frac{2022}{3}=674\).

Vérifions \(y\ge x+1\) : pour \(n=48\), \(2022\ge3\) ok ; pour \(n=2022\), \(2022\ge675\) ok. Donc les solutions sont \((n,x)=(48,2)\) et \((2022,674)\).

11. Cas \(y=x^2\)

L'équité donne \((3n-3)x + x^2 = n^2\) soit \(x^2 + (3n-3)x - n^2 = 0\), équation du second degré en \(x\) de discriminant \(\Delta = (3n-3)^2+4n^2 = 13n^2-18n+9\). Pour que \(x=\dfrac{-(3n-3)+\sqrt\Delta}2\) soit entier, il faut que \(\Delta\) soit un carré parfait impair de même parité que \(3n-3\).

En balayant \(n\) de 3 à 199, trois valeurs rendent \(\Delta\) carré parfait : \(n=9\) (\(\Delta=900=30^2\), \(x=\frac{-24+30}2=3\), \(y=9\)) ; \(n=52\) (\(\Delta=34225=185^2\), \(x=\frac{-153+185}2=16\), \(y=256\)) ; \(n=161\) (\(\Delta=334084=578^2\), \(x=\frac{-480+578}2=49\), \(y=2401\)).

Vérification directe de ces trois couples dans l'équation d'équité \((3n-3)x+y=n^2\) : \(n=9\) : \((27-3)\times3+9=72+9=81=9^2\) ✓. \(n=52\) : \((156-3)\times16+256=2448+256=2704=52^2\) ✓. \(n=161\) : \((483-3)\times49+2401=23520+2401=25921=161^2\) ✓.

Donc pour \(n<200\), les couples \((n,x,y)\) rendant \((x,x^2)\) équitable sont exactement \((9,3,9)\), \((52,16,256)\) et \((161,49,2401)\).