Exercice académique 1 — Tournoi de tennis (tous candidats)

1. Utiliser l'arbre de probabilité donné en exemple (schéma HB).

2. Reproduire l'arbre en inversant l'ordre pour BH.

3. Pour le schéma HBH, qualifiée si elle gagne les matchs 1-2, ou les matchs 2-3 (ou les trois) : dénombrer soigneusement les issues avec 2 victoires consécutives parmi les 3 possibles.

4. Même raisonnement pour BHB.

7. Développer \((1-p)\times p\times(2-p)\) directement à partir des probabilités \(p\) (vs mieux classé) et \(q=1-p\) (vs moins bien classé) intervenant dans le schéma HBH.

9. Poser l'égalité entre les deux expressions de probabilité (en \(p\)) et résoudre l'équation du second degré.

10. Idem, en utilisant la forme canonique donnée en indication : \(p^2-3p+1=(p-\frac32)^2-\frac54\).

1. Probabilité qu'Alice soit éliminée directement (schéma HB)

Le schéma HB signifie qu'Alice affronte d'abord un mieux classé (H), puis un moins bien classé (B).

• Probabilité de perdre contre un mieux classé : \(1 - \frac13 = \frac23\).

• Probabilité de perdre contre un moins bien classé : \(1 - \frac23 = \frac13\).

Pour être éliminée directement, elle doit perdre ses deux matchs. Les événements sont indépendants.

\[P(\text{éliminée HB}) = \frac23 \times \frac13 = \frac{2}{9}.\]

2. Même question avec le schéma BH (arbre à représenter), probabilité de qualification directe

Arbre de probabilités pour le schéma BH (B puis H) :

• Premier match contre un moins bien classé :

• Gagne : probabilité \(\frac23\)

• Perd : probabilité \(\frac13\)

• Deuxième match contre un mieux classé :

• Si elle a gagné le premier : gagne avec probabilité \(\frac13\), perd avec \(\frac23\)

• Si elle a perdu le premier : gagne avec probabilité \(\frac13\), perd avec \(\frac23\)

Probabilité de qualification directe (gagner les deux matchs) :

\[P(\text{qualifiée BH}) = \frac23 \times \frac13 = \frac{2}{9}.\]

3. Montrer que \(P(\text{HBH qualifié}) = \frac{10}{27}\)

Le schéma HBH signifie : mieux classé, moins bien classé, mieux classé.

Pour être qualifié, il faut gagner 2 matchs consécutifs. Les séquences possibles de résultats (G = gagné, P = perdu) qui donnent la qualification :

• G G G : gagne les trois matchs → qualification (car les deux premiers sont consécutifs)

• G G P : gagne les deux premiers → qualification

• P G G : gagne les deux derniers → qualification

• G P G : pas de deux victoires consécutives → non qualifié

• P P G, P G P, G P P, P P P : pas de deux victoires consécutives → non qualifié

Calculons les probabilités de chaque séquence favorable.

Probabilités :

• Contre un mieux classé (H) : gagner = \(\frac13\), perdre = \(\frac23\)

• Contre un moins bien classé (B) : gagner = \(\frac23\), perdre = \(\frac13\)

Séquence G G G :

\[\frac13 \times \frac23 \times \frac13 = \frac{2}{27}.\]

Séquence G G P :

\[\frac13 \times \frac23 \times \frac23 = \frac{4}{27}.\]

Séquence P G G :

\[\frac23 \times \frac23 \times \frac13 = \frac{4}{27}.\]

Somme :

\[\frac{2}{27} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{10}{27}.\]

Donc \(P(\text{HBH qualifié}) = \frac{10}{27}\).

4. Calculer \(P(\text{BHB qualifié})\)

Schéma BHB : moins bien classé, mieux classé, moins bien classé.

Mêmes règles : il faut gagner 2 matchs consécutifs.

Séquences favorables :

• G G G : \(\frac23 \times \frac13 \times \frac23 = \frac{4}{27}\)

• G G P : \(\frac23 \times \frac13 \times \frac13 = \frac{2}{27}\)

• P G G : \(\frac13 \times \frac13 \times \frac23 = \frac{2}{27}\)

Somme :

\[\frac{4}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{8}{27}.\]

5. Probabilité de qualification du mieux classé (doit gagner ses 3 matchs)

Le mieux classé affronte des moins bien classés à chaque match (car il est le meilleur).

Probabilité de gagner contre un moins bien classé : \(q = 1-p\). Ici \(p = \frac13\), donc \(q = \frac23\).

Étant le mieux classé, il affronte à chaque match un moins bien classé (probabilité de gagner \(\frac23\)) : l'énoncé précise qu'il doit gagner ses 3 matchs pour être qualifié.

Probabilité de gagner un match contre un moins bien classé : \(\frac23\).

Les trois matchs sont indépendants.

\[P(\text{mieux classé qualifié}) = \left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27}.\]

6. Probabilité de qualification du moins bien classé (doit gagner 2 matchs sur 3, pas forcément consécutifs)

Le moins bien classé affronte des mieux classés à chaque match. Probabilité de gagner contre un mieux classé : \(p = \frac13\).

Il doit gagner au moins 2 matchs sur 3 (pas forcément consécutifs). Les séquences possibles avec exactement 2 victoires ou 3 victoires.

Nombre de façons d'avoir 2 victoires parmi 3 : \(\binom{3}{2} = 3\).

Probabilité de chaque séquence avec 2 victoires et 1 défaite : \(\left(\frac13\right)^2 \times \frac23 = \frac{2}{27}\).

Probabilité de 3 victoires : \(\left(\frac13\right)^3 = \frac{1}{27}\).

Total :

\[3 \times \frac{2}{27} + \frac{1}{27} = \frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{7}{27}.\]

7. Montrer \(P(\text{HBH}) = (1-p)p(2-p)\)

On généralise avec \(p \in ]0, \frac12[\) probabilité de gagner contre un mieux classé, et \(q = 1-p\) contre un moins bien classé.

Schéma HBH : matchs contre H, B, H.

Probabilités :

• Gagner contre H : \(p\), perdre : \(1-p\)

• Gagner contre B : \(q = 1-p\), perdre : \(p\)

Séquences favorables (2 victoires consécutives) :

• G G G : \(p \times (1-p) \times p = p^2(1-p)\)

• G G P : gagner les deux premiers, perdre le troisième (contre H, donc perdre \(=1-p\)) : \(p \times (1-p) \times (1-p) = p(1-p)^2\).

• P G G : perdre le premier (contre H) : \(1-p\), gagner le deuxième (contre B) : \(1-p\), gagner le troisième (contre H) : \(p\). Soit \((1-p) \times (1-p) \times p = p(1-p)^2\).

Somme :

\[p^2(1-p) + p(1-p)^2 + p(1-p)^2 = p^2(1-p) + 2p(1-p)^2.\]

Factorisons :

\[p(1-p)\left[ p + 2(1-p) \right] = p(1-p)(p + 2 - 2p) = p(1-p)(2 - p).\]

Donc \(P(\text{HBH}) = p(1-p)(2-p)\). Mais l'énoncé demande \((1-p)p(2-p)\), c'est identique.

8. Pour quels \(p\) HBH est-il plus avantageux que BHB ?

Calculons \(P(\text{BHB})\) de la même manière.

Schéma BHB : matchs contre B, H, B.

Probabilités :

• Gagner contre B : \(1-p\), perdre : \(p\)

• Gagner contre H : \(p\), perdre : \(1-p\)

Séquences favorables :

• G G G : \((1-p) \times p \times (1-p) = p(1-p)^2\)

• G G P : \((1-p) \times p \times p = p^2(1-p)\)

• P G G : \(p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)\)

Somme :

\[p(1-p)^2 + 2p^2(1-p) = p(1-p)\left[(1-p) + 2p\right] = p(1-p)(1-p+2p) = p(1-p)(1+p).\]

Donc \(P(\text{BHB}) = p(1-p)(1+p)\).

On veut \(P(\text{HBH}) > P(\text{BHB})\) :

\[p(1-p)(2-p) > p(1-p)(1+p).\]

Comme \(p \in ]0, \frac12[\), \(p(1-p) > 0\), on peut diviser :

\[2-p > 1+p \quad \Rightarrow \quad 2-p > 1+p \quad \Rightarrow \quad 2-1 > p+p \quad \Rightarrow \quad 1 > 2p \quad \Rightarrow \quad p < \frac12.\]

Donc pour tout \(p \in ]0, \frac12[\), HBH est plus avantageux que BHB. (À la limite \(p=\frac12\), égalité.)

9. Valeur de \(p\) égalisant qualification du mieux classé et d'Alice (schéma BHB)

Le mieux classé : il affronte des moins bien classés. Probabilité de gagner un match : \(1-p\). Il doit gagner ses 3 matchs (selon l'énoncé). Donc \(P(\text{mieux}) = (1-p)^3\).

Alice (schéma BHB) : \(P(\text{Alice BHB}) = p(1-p)(1+p)\).

On égalise :

\[(1-p)^3 = p(1-p)(1+p).\]

Si \(p \neq 1\) (et \(p<1\)), on peut diviser par \((1-p)\) :

\[(1-p)^2 = p(1+p).\]

Développons :

\[1 - 2p + p^2 = p + p^2 \quad \Rightarrow \quad 1 - 2p = p \quad \Rightarrow \quad 1 = 3p \quad \Rightarrow \quad p = \frac13.\]

10. Valeur de \(p\) égalisant qualification du moins bien classé et d'Alice (schéma BHB)

Le moins bien classé : il affronte des mieux classés. Probabilité de gagner un match : \(p\). Il doit gagner au moins 2 matchs sur 3 (pas forcément consécutifs). Donc \(P(\text{moins}) = \binom{3}{2} p^2 (1-p) + p^3 = 3p^2(1-p) + p^3 = 3p^2 - 3p^3 + p^3 = 3p^2 - 2p^3\).

Alice (BHB) : \(P(\text{Alice BHB}) = p(1-p)(1+p) = p(1-p^2) = p - p^3\).

On égalise :

\[3p^2 - 2p^3 = p - p^3.\]

Réarrangeons :

\[3p^2 - 2p^3 - p + p^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3p^2 - p - p^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad -p^3 + 3p^2 - p = 0.\]

Multiplions par -1 :

\[p^3 - 3p^2 + p = 0 \quad \Rightarrow \quad p(p^2 - 3p + 1) = 0.\]

\(p=0\) est exclu (\(p>0\)). Résolvons \(p^2 - 3p + 1 = 0\). Discriminant : \(\Delta = 9 - 4 = 5\). Racines :

\[p = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}.\]

\(\frac{3 + \sqrt{5}}{2} \approx 2.618 > 1\) (hors intervalle), \(\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382\). Comme \(p \in ]0, \frac12[\), on a \(0.382 < 0.5\), donc la solution est :

\[p = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.\]

11. Lister toutes les compositions possibles des 3 matchs d'Alice (HBH ou BHB)

Alice (2^e) n'a qu'un seul adversaire mieux classé (Bob, 1^er) et deux adversaires moins bien classés (Carl 3^e, Diane 4^e). En notant B=Bob, C=Carl, D=Diane, les compositions possibles sont : HBH → (B,C,B) ou (B,D,B) ; BHB → (C,B,C), (C,B,D), (D,B,C), (D,B,D). Soit 6 compositions au total.

12-13. La qualification exige deux victoires consécutives. En choisissant convenablement les résultats des matchs (y compris ceux ne concernant pas Alice), il est possible qu'un seul joueur se qualifie sur une composition donnée, et il est également possible de construire un scénario où trois des quatre joueurs se qualifient simultanément.