Olympiades · Épreuve nationale · 23 mars 2021
Une fraction égyptienne est l'inverse d'un entier naturel (ex. \(\frac12,\frac17\)). Une décomposition égyptienne d'un rationnel \(0 1. Vrai ou faux : la somme (resp. le produit, le quotient) de deux fractions égyptiennes est une fraction égyptienne. 2a. Donner deux décompositions égyptiennes de \(\frac12\) ; qu'en déduire sur l'unicité ? 2b. Décomposer \(\frac25\) et \(\frac9{10}\). 3. Une pyramide égyptienne est une pyramide régulière à base carrée (faces latérales isocèles non équilatérales) dont les longueurs d'arêtes et leur somme totale sont des fractions égyptiennes. a) Montrer que la pyramide avec \(AB=\frac1{30}\), \(SA=\frac1{20}\) en est une. On note désormais \(AB=\frac1p\), \(SA=\frac1q\) avec \(p>q\ge1\) entiers. b) Montrer que \(p\ge4\) et \(q\ge4\). c) Montrer que la pyramide est égyptienne ssi \(n=\dfrac{pq}{4p+4q}\) est un entier naturel non nul. d) En déduire que si \(p,q\) sont impairs, la pyramide ne peut pas être égyptienne. 1. Chercher un contre-exemple pour chaque proposition (par exemple \(\frac12+\frac13\)). 3a. La pyramide a 4 arêtes de base (longueur \(AB\)) et 4 arêtes latérales (longueur \(SA\)) : somme totale \(=4AB+4SA\). Calculer cette somme avec les valeurs données et vérifier qu'elle est bien l'inverse d'un entier. 3b. Pour que le triangle latéral soit isocèle non équilatéral, il faut \(SA\ne AB\) ; pour qu'il puisse exister géométriquement (base carrée, hauteur réelle positive), une contrainte d'inégalité triangulaire adaptée impose une borne inférieure sur \(p\) et \(q\). 3c. La somme totale des arêtes vaut \(4\left(\frac1p+\frac1q\right)=\dfrac{4(p+q)}{pq}\) : chercher à quelle condition l'inverse de cette quantité, \(\dfrac{pq}{4(p+q)}\), est un entier. 3d. Si \(p,q\) sont impairs, étudier la parité du numérateur \(pq\) et du dénominateur \(4(p+q)\) de la fraction de la question précédente. 1. Avec \(a,b\) entiers \(\ge1\) : somme \(\frac1a+\frac1b=\frac{a+b}{ab}\), pas toujours égyptienne (ex. \(\frac12+\frac13=\frac56\)) — faux. Produit \(\frac1a\times\frac1b=\frac1{ab}\), toujours égyptienne car \(ab\) est un entier \(\ge1\) — vrai. Quotient \(\frac{1/a}{1/b}=\frac ba\), pas toujours égyptien (ex. \(a=2,b=3\) donne \(\frac32\)) — faux. 2a. \(\frac12=\frac12\) et \(\frac12=\frac13+\frac16\) (car \(\frac26+\frac16=\frac36\)) : deux décompositions distinctes, donc la décomposition égyptienne n'est pas unique. 2b. Par l'algorithme glouton (on retranche la plus grande fraction égyptienne possible) : \(\frac25-\frac13=\frac1{15}\), donc \(\frac25=\frac13+\frac1{15}\). Puis \(\frac9{10}-\frac12=\frac25=\frac13+\frac1{15}\), donc \(\frac9{10}=\frac12+\frac13+\frac1{15}\). 3a. Pyramide \(AB=\frac1{30}\) (4 arêtes de base), \(SA=\frac1{20}\) (4 arêtes latérales), toutes égyptiennes. Somme totale : \(S=4\times\frac1{30}+4\times\frac1{20}=\frac2{15}+\frac15=\frac2{15}+\frac3{15}=\frac5{15}=\frac13\), également égyptienne. C'est bien une pyramide égyptienne. 3b. D'après 3c ci-dessous, la pyramide est égyptienne ssi \(n=\dfrac{pq}{4(p+q)}\) est un entier \(\ge1\), ce qui équivaut à \(pq\ge4(p+q)\), soit \(pq-4p-4q+16\ge16\), c'est-à-dire \((p-4)(q-4)\ge16\). Si \(q\le4\), alors \(q-4\le0\) : pour \(q\le3\) le produit \((p-4)(q-4)\) ne peut atteindre 16 qu'avec \(p-4\) très négatif, donc \(p\) négatif (impossible, \(p>q\ge1\)) ; pour \(q=4\), le produit vaut \(0<16\) quel que soit \(p\). Dans tous les cas \(q\le4\) est exclu, donc \(q\ge5>4\), et comme \(p>q\), \(p\ge6>4\). En particulier \(p\ge4\) et \(q\ge4\) comme demandé (la borne réellement optimale est même \(p\ge6,\,q\ge5\), atteinte pour \((p,q)=(20,5)\)). 3c. La somme totale des arêtes vaut \(S=4\left(\frac1p+\frac1q\right)=\dfrac{4(p+q)}{pq}\). La pyramide est égyptienne ssi \(S\) est elle-même égyptienne, c'est-à-dire ssi il existe un entier \(n\ge1\) tel que \(S=\frac1n\), soit \(n=\dfrac{pq}{4(p+q)}=\dfrac{pq}{4p+4q}\). 3d. Si \(p,q\) sont impairs, \(pq\) est impair, tandis que \(p+q\) est pair donc \(4(p+q)\) est un multiple de 8 (pair). Un nombre pair ne peut diviser un nombre impair, donc \(n=\frac{pq}{4(p+q)}\) ne peut pas être entier : la pyramide ne peut pas être égyptienne.