Olympiades · Académique Nantes · 23 mars 2021
Une araignée trace un segment de longueur 1 au jour 0. Chaque jour suivant, matin puis après-midi, elle tourne d'un quart de tour à droite, trace un segment de même longueur que le dernier tracé, tourne encore d'un quart de tour, trace un segment une unité plus long que le précédent (donc 4 segments par jour). On note \(L_k\) la distance parcourue le jour \(k\), \(S_k\) la distance totale du jour 0 à la fin du jour \(k\) (\(L_0=S_0=1\)).
Partie A. 1. Tracer la figure jusqu'à la fin du jour 3.
2. Justifier \(L_1=8\), calculer \(L_2,L_3,L_4,L_{10}\).
3. Conjecturer \(L_k\) pour \(k\ge1\).
4. Existe-t-il un jour où la distance parcourue vaut 1008 ? et 2020 ?
5. Vérifier \(S_1=9\), calculer \(S_2,S_{10}\).
6. Exprimer \(S_k\) en fonction de \(k\).
7. Montrer que \(S_k\) est toujours un carré parfait.
8. Peut-on parcourir exactement 16 345 849 au total ? À la fin de quel jour ?
Partie B. Dans un repère adapté, on note \(A_k,B_k,C_k,D_k\) les sommets du trajet du jour \(k\).
9. Coordonnées de \(A_2,D_3,C_5\).
10. Coordonnées générales de \(A_k,B_k,C_k,D_k,A_{k+1}\).
11. Équations des quatre droites du jour \(k\).
12. Démontrer la conjecture de la question 3.
13. Le fil passe-t-il par \(F(7,\frac72)\) ?
14. Par \(G(-25,12)\) ?
15. Combien de points à coordonnées entières le fil traverse-t-il du jour 0 à la fin du jour \(k\) ?
2-3. En notant \(p\) la longueur du dernier segment tracé avant le jour \(k\), les 4 segments du jour \(k\) valent \(p,p+1,p+1,p+2\) (somme \(4p+4\)), et le nouveau « dernier segment » devient \(p+2\). Partant de \(p=1\) après le jour 0, on obtient \(p=2k-1\) à l'entrée du jour \(k\), d'où \(L_k=4(2k-1)+4=8k\).
6-7. \(S_k=S_0+\sum_{i=1}^k L_i=1+8\times\dfrac{k(k+1)}2=1+4k(k+1)=(2k+1)^2\).
8. Résoudre \((2k+1)^2=16\,345\,849\), c'est-à-dire calculer la racine carrée de ce nombre et vérifier qu'elle est bien impaire.
10-15. Repérer la direction (horizontale/verticale, sens) de chacun des 4 segments du jour \(k\) selon la parité du quart de tour, pour en déduire les coordonnées par récurrence à partir de \(A_1=(1,0)\).
Partie A
1. On part de \((0,0)\) vers la droite. Chaque nouveau segment est précédé d'un quart de tour à droite (sens horaire) : les directions défilent droite, bas, gauche, haut, droite, ... Notant \(a_n\) la longueur du \(n\)-ième segment (\(a_1=1\) pour le jour 0), la règle donne \(a_2=a_1=1\), \(a_3=a_2+1=2\), \(a_4=a_3=2\), \(a_5=a_4+1=3\), etc. : chaque jour \(k\ge1\) comporte 4 segments de longueurs \(2k-1,2k,2k,2k+1\), traçant un carré en spirale qui s'agrandit. Fin du jour 3 : la trajectoire passe par \((0,0)\to(1,0)\to(1,-1)\to(-1,-1)\to(-1,1)\to(2,1)\to(2,-2)\to(-2,-2)\to(-2,2)\to(3,2)\to(3,-3)\to(-3,-3)\to(-3,3)\to(4,3)\).
2. Pour \(k\ge1\), les 4 segments du jour \(k\) valent \(2k-1,2k,2k,2k+1\), de somme \(L_k=(2k-1)+2k+2k+(2k+1)=8k\). Pour \(k=1\) : \(L_1=8\). D'où \(L_2=16\), \(L_3=24\), \(L_4=32\), \(L_{10}=80\).
3. Conjecture : \(L_k=8k\) pour tout \(k\ge1\).
4. \(8k=1008\Rightarrow k=126\) (entier) : oui, au jour 126. \(8k=2020\Rightarrow k=252{,}5\) (non entier) : non.
5. \(S_k=S_0+\sum_{i=1}^k L_i=1+8\times\frac{k(k+1)}2=1+4k(k+1)\). \(S_1=1+8=9\) ✓. \(S_2=1+24=25\). \(S_{10}=1+440=441\).
6. \(S_k=1+4k(k+1)=4k^2+4k+1=(2k+1)^2\).
7. \(S_k=(2k+1)^2\) est le carré de l'entier \(2k+1\) : toujours un carré parfait.
8. On cherche \((2k+1)^2=16\,345\,849\). Or \(4043^2=(4000+43)^2=16\,000\,000+344\,000+1849=16\,345\,849\), exactement. Donc \(2k+1=4043\Rightarrow k=2021\) : oui, à la fin du jour 2021.
Partie B
9-10. En notant \(A_k\) le point de départ du jour \(k\) (donc \(A_1=(1,0)\)), \(B_k,C_k,D_k\) les sommets suivants et \(A_{k+1}\) le point d'arrivée, la construction donne pour tout \(k\ge1\) :
\(A_k=(k,k-1)\) • \(B_k=(k,-k)\) (segment vers le bas, longueur \(2k-1\)) • \(C_k=(-k,-k)\) (segment vers la gauche, longueur \(2k\)) • \(D_k=(-k,k)\) (segment vers le haut, longueur \(2k\)) • \(A_{k+1}=(k+1,k)\) (segment vers la droite, longueur \(2k+1\)).
D'où \(A_2=(2,1)\), \(D_3=(-3,3)\), \(C_5=(-5,-5)\).
11. Segment \(A_kB_k\) : \(x=k\) (\(y\) de \(k-1\) à \(-k\)). Segment \(B_kC_k\) : \(y=-k\) (\(x\) de \(k\) à \(-k\)). Segment \(C_kD_k\) : \(x=-k\) (\(y\) de \(-k\) à \(k\)). Segment \(D_kA_{k+1}\) : \(y=k\) (\(x\) de \(-k\) à \(k+1\)).
12. Par récurrence : si le dernier segment tracé avant le jour \(k\) a pour longueur \(2k-1\) (vrai pour \(k=1\)), le jour \(k\) trace \(2k-1,2k,2k,2k+1\) (somme \(8k\)), et le dernier segment du jour \(k\) a longueur \(2k+1=2(k+1)-1\), ce qui amorce le jour \(k+1\). Donc \(L_k=8k\) pour tout \(k\ge1\).
13. Le segment \(A_7B_7\) (\(k=7\)) est vertical d'équation \(x=7\), avec \(y\) parcourant tout l'intervalle \([-7,6]\). Comme \(3{,}5\in[-7,6]\), le point \(F(7,\frac72)\) est bien sur le fil.
14. Le segment \(C_{25}D_{25}\) est vertical d'équation \(x=-25\), avec \(y\in[-25,25]\). Comme \(12\in[-25,25]\), \(G(-25,12)\) est sur le fil.
15. Chaque segment de longueur entière \(L\) contient \(L+1\) points à coordonnées entières, dont l'un est partagé avec le segment suivant (le sommet commun). Le fil ne se recoupant jamais (spirale strictement croissante), le nombre total de points entiers distincts du jour 0 à la fin du jour \(k\) est donc \(1+\sum(\text{longueurs des segments})=1+S_k=(2k+1)^2+1\).