Exercice académique 2 — \(k\)-couples (spécialité maths)

5-6. Réécrire \(xy=k(x+y)\) sous forme factorisée \((x-k)(y-k)=k^2\) : chercher les couples de diviseurs de \(k^2\) donnant \(x,y\) entiers naturels avec \(x\le y\).

7. Si \(k\) est premier, \(k^2\) n'a que trois diviseurs positifs (\(1,k,k^2\)), donc peu de décompositions \((x-k)(y-k)=k^2\) à considérer.

8. Factoriser \(2021=43\times47\) pour trouver les diviseurs de \(2021^2\).

13-14. Utiliser la question 11 pour engendrer une infinité de croix sur une droite à partir d'une seule croix trouvée ; pour la question 14, chercher si un \(k\)-couple peut vérifier \(y=x+1\) (différence de 1 entre les deux composantes).

Correction détaillée

1. Vérifier que \((6,30)\) et \((10,10)\) sont des 5-couples, mais pas \((30,6)\) ni \((5,25)\).

Un \(k\)-couple vérifie \(xy = k(x+y)\) avec \(x \le y\) et \(x,y \in \mathbb{N}^*\).

• Pour \((6,30)\) : \(x=6\), \(y=30\). Calculons \(xy = 6 \times 30 = 180\). Calculons \(k(x+y)\) avec \(k=5\) : \(5 \times (6+30) = 5 \times 36 = 180\). L'égalité est vérifiée, et \(6 \le 30\), donc \((6,30)\) est un 5-couple.

• Pour \((10,10)\) : \(x=10\), \(y=10\). \(xy = 10 \times 10 = 100\). \(5 \times (10+10) = 5 \times 20 = 100\). Égalité vérifiée et \(10 \le 10\), donc \((10,10)\) est un 5-couple.

• Pour \((30,6)\) : \(x=30\), \(y=6\). On a \(30 > 6\), donc la condition \(x \le y\) n'est pas respectée. Ce n'est donc pas un \(k\)-couple (même si l'égalité \(30 \times 6 = 5 \times (30+6)\) est vraie, la définition exige \(x \le y\)).

• Pour \((5,25)\) : \(x=5\), \(y=25\). \(xy = 5 \times 25 = 125\). \(5 \times (5+25) = 5 \times 30 = 150\). \(125 \neq 150\), donc ce n'est pas un 5-couple.

2. Pour quel \(k\), \((8,56)\) est-il un \(k\)-couple ?

On a \(x=8\), \(y=56\). La condition est \(xy = k(x+y)\). Calculons \(xy = 8 \times 56 = 448\). Calculons \(x+y = 8+56 = 64\). Alors \(k = \frac{xy}{x+y} = \frac{448}{64} = 7\). Donc \((8,56)\) est un 7-couple. Vérifions : \(8 \le 56\), donc c'est valide.

3. \((3,5)\) est-il un \(k\)-couple pour un certain \(k\) ?

On a \(x=3\), \(y=5\). \(xy = 3 \times 5 = 15\). \(x+y = 3+5 = 8\). Si c'était un \(k\)-couple, on aurait \(k = \frac{15}{8} = 1.875\), qui n'est pas un entier. Donc \((3,5)\) n'est un \(k\)-couple pour aucun \(k\) entier.

4. Si \((x,y)\) est un 5-couple, \((x^2,y^2)\) est-il un 25-couple ?

Soit \((x,y)\) un 5-couple, donc \(xy = 5(x+y)\). On considère \((x^2, y^2)\). Vérifions si \(x^2 y^2 = 25(x^2 + y^2)\). On a \(x^2 y^2 = (xy)^2 = [5(x+y)]^2 = 25(x+y)^2\). Or \(25(x^2+y^2) \neq 25(x+y)^2\) en général, car \((x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\). Donc l'égalité n'est pas vérifiée sauf cas particulier. Par exemple, prenons \((x,y) = (10,10)\) (5-couple). Alors \((x^2,y^2) = (100,100)\). \(x^2 y^2 = 10000\). \(25(x^2+y^2) = 25 \times (10000+10000) = 25 \times 20000 = 500000\). \(10000 \neq 500000\), donc ce n'est pas un 25-couple. Réponse : non.

5. Montrer que si \((x,y)\) est un 1-couple, \(y-1\) divise \(y\) ; en déduire l'unique 1-couple.

Soit \((x,y)\) un 1-couple, donc \(xy = 1 \times (x+y) = x+y\). On a \(x \le y\). L'équation s'écrit \(xy - x - y = 0\), soit \((x-1)(y-1) = 1\). En effet, \(xy - x - y + 1 = 1\), donc \((x-1)(y-1) = 1\). Comme \(x\) et \(y\) sont des entiers naturels non nuls, \(x-1\) et \(y-1\) sont des entiers relatifs. Le produit vaut 1, donc les seules possibilités sont \(x-1 = 1\) et \(y-1 = 1\), ou \(x-1 = -1\) et \(y-1 = -1\). Mais \(x \ge 1\) donc \(x-1 \ge 0\), donc la deuxième possibilité donne \(x-1 = -1\) soit \(x=0\), impossible car \(x\) non nul. Donc \(x-1 = 1\) et \(y-1 = 1\), soit \(x=2\), \(y=2\). Vérifions : \(2 \le 2\), \(2 \times 2 = 4\), \(1 \times (2+2) = 4\). L'unique 1-couple est \((2,2)\).

6. Montrer que \(xy=2(x+y) \iff (x-2)(y-2)=4\) ; en déduire tous les 2-couples.

Partons de \(xy = 2(x+y)\). Alors \(xy - 2x - 2y = 0\). Ajoutons 4 des deux côtés : \(xy - 2x - 2y + 4 = 4\). Factorisons : \((x-2)(y-2) = 4\). Réciproquement, si \((x-2)(y-2)=4\), alors en développant \(xy - 2x - 2y + 4 = 4\), donc \(xy = 2x + 2y = 2(x+y)\). L'équivalence est démontrée.

Pour trouver tous les 2-couples, on cherche les couples \((x,y)\) d'entiers naturels non nuls avec \(x \le y\) tels que \((x-2)(y-2) = 4\). Posons \(a = x-2\), \(b = y-2\), avec \(a,b\) entiers relatifs. Comme \(x \ge 1\), \(a \ge -1\). De plus \(x \le y\) implique \(a \le b\). Le produit \(ab = 4\). Les diviseurs de 4 sont : \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\). On liste les couples \((a,b)\) avec \(a \le b\) et \(ab=4\) :

• \(a=1, b=4\) donne \(x=3, y=6\).

• \(a=2, b=2\) donne \(x=4, y=4\).

• \(a=-1, b=-4\) donne \(x=1, y=-2\) impossible car \(y\) doit être positif.

• \(a=-2, b=-2\) donne \(x=0, y=0\) impossible car \(x,y\) non nuls.

• \(a=-4, b=-1\) donne \(x=-2, y=1\) impossible.

Donc les seuls couples valides sont \((3,6)\) et \((4,4)\). Vérifions : \((3,6)\) : \(3 \times 6 = 18\), \(2 \times (3+6) = 18\) ; \((4,4)\) : \(4 \times 4 = 16\), \(2 \times 8 = 16\). Ce sont tous les 2-couples.

7. Si \(k\) est premier, combien y a-t-il de \(k\)-couples ?

Soit \(k\) premier. L'équation \(xy = k(x+y)\) se réécrit \(xy - kx - ky = 0\), soit \((x-k)(y-k) = k^2\). En effet, ajoutons \(k^2\) : \(xy - kx - ky + k^2 = k^2\), d'où \((x-k)(y-k) = k^2\). On cherche \(x,y \in \mathbb{N}^*\) avec \(x \le y\). Posons \(a = x-k\), \(b = y-k\). Alors \(a,b\) sont des entiers relatifs, et \(ab = k^2\). Comme \(x \ge 1\), \(a \ge 1-k\). Mais surtout, \(x\) et \(y\) sont positifs, donc \(a > -k\) et \(b > -k\). Le produit \(ab = k^2\) est positif, donc \(a\) et \(b\) sont de même signe. Deux cas :

• \(a,b > 0\) : alors \(a\) et \(b\) sont des diviseurs positifs de \(k^2\). Comme \(k\) est premier, \(k^2\) a pour diviseurs positifs : \(1, k, k^2\). On a \(a \le b\) et \(ab = k^2\). Les couples \((a,b)\) possibles sont \((1, k^2)\) et \((k, k)\). Cela donne \(x = k+1, y = k+k^2\) et \(x = 2k, y = 2k\).

• \(a,b < 0\) : alors \(a\) et \(b\) sont négatifs. On pose \(a' = -a > 0\), \(b' = -b > 0\), avec \(a'b' = k^2\). Alors \(x = k - a'\), \(y = k - b'\). Pour que \(x,y\) soient positifs, il faut \(a' < k\) et \(b' < k\). Les diviseurs positifs de \(k^2\) sont \(1, k, k^2\). Si \(a' = 1\), alors \(b' = k^2\), mais \(k^2 > k\) pour \(k \ge 2\), donc \(y = k - k^2 < 0\). Si \(a' = k\), alors \(b' = k\), donne \(x = 0, y = 0\) (non nuls). Si \(a' = k^2\), alors \(b' = 1\), même problème. Donc aucun couple avec \(a,b < 0\) ne donne \(x,y\) positifs non nuls (sauf peut-être \(k=1\) mais \(k\) premier, \(k=2\) donne \(a'=1\) donne \(x=1\), \(y=2-4=-2\) non). Donc seulement deux solutions : \((k+1, k+k^2)\) et \((2k, 2k)\). Vérifions que \(x \le y\) : pour \(k \ge 2\), \(k+1 \le k+k^2\) et \(2k \le 2k\). Donc il y a exactement 2 \(k\)-couples pour \(k\) premier.

8. Lister tous les 2021-couples.

On a \(k=2021\). L'équation \((x-2021)(y-2021) = 2021^2\). Factorisons 2021 : \(2021 = 43 \times 47\) (car 43 et 47 sont premiers). Donc \(2021^2 = 43^2 \times 47^2\). On cherche les diviseurs positifs \(a = x-2021\) et \(b = y-2021\) avec \(a \le b\) et \(ab = 2021^2\). Les diviseurs positifs de \(2021^2\) sont de la forme \(43^i \times 47^j\) avec \(0 \le i,j \le 2\). Il y a \((2+1)^2 = 9\) diviseurs. On les liste par ordre croissant :

• \(1 = 43^0 \times 47^0\)

• \(43\)

• \(47\)

• \(43^2 = 1849\)

• \(43 \times 47 = 2021\)

• \(47^2 = 2209\)

• \(43^2 \times 47 = 1849 \times 47 = 86903\)

• \(43 \times 47^2 = 43 \times 2209 = 94987\)

• \(43^2 \times 47^2 = 2021^2 = 4084441\)

Pour chaque diviseur \(a\), on a \(b = 2021^2 / a\). On ne garde que les couples avec \(a \le b\). Les couples \((a,b)\) sont :

• \((1, 4084441)\)

• \((43, 94987)\) car \(2021^2 / 43 = 2021 \times 47 = 94987\)

• \((47, 86903)\) car \(2021^2 / 47 = 2021 \times 43 = 86903\)

• \((1849, 2209)\) car \(2021^2 / 1849 = (2021/43)^2 = 47^2 = 2209\)

• \((2021, 2021)\)

Ensuite, \(x = 2021 + a\), \(y = 2021 + b\). Donc les 2021-couples sont :

• \((2022, 4084441+2021 = 4086462)\) ? Attention : \(y = 2021 + 4084441 = 4086462\). Vérifions : \(2022 \le 4086462\).

• \((2021+43=2064, 2021+94987=97008)\)

• \((2021+47=2068, 2021+86903=88924)\)

• \((2021+1849=3870, 2021+2209=4230)\)

• \((2021+2021=4042, 2021+2021=4042)\)

Il y a donc 5 couples.

9. Écrire une fonction Python croix(x,y) testant si \((x,y)\) est le couple de coordonnées d'une croix.

Une croix est un point qui est un \(k\)-point pour un certain \(k\) entier, c'est-à-dire tel que \(x+y\) divise \(xy\) (le quotient donnant \(k\)), avec \(x\le y\) et \(x,y\) entiers naturels non nuls.

def croix(x, y):
    if x <= 0 or y <= 0 or x > y:
        return False
    return (x * y) % (x + y) == 0

10. Montrer que la droite \(y=x\) et la parabole \(y=x^2-x\) contiennent chacune un \(k\)-point pour tout \(k\).

• Pour la droite \(y=x\) : on cherche un point \((x,x)\) avec \(x \ge 1\) tel que ce soit un \(k\)-couple pour un \(k\) donné. L'équation devient \(x^2 = k(2x)\), soit \(x^2 = 2kx\), donc \(x(x - 2k) = 0\). Comme \(x \neq 0\), on a \(x = 2k\). Donc pour tout \(k\), le point \((2k, 2k)\) est sur la droite \(y=x\) et vérifie \(xy = (2k)^2 = 4k^2\) et \(k(x+y) = k(4k) = 4k^2\). C'est bien un \(k\)-point.

• Pour la parabole \(y = x^2 - x\) : on cherche un point \((x, x^2 - x)\) avec \(x \ge 1\) et \(x \le y\) (il faudra vérifier). L'équation du \(k\)-couple : \(x(x^2 - x) = k(x + x^2 - x) = k x^2\). Soit \(x^3 - x^2 = k x^2\), donc \(x^3 = (k+1)x^2\). Si \(x \neq 0\), on divise par \(x^2\) : \(x = k+1\). Alors \(y = (k+1)^2 - (k+1) = k^2 + 2k + 1 - k - 1 = k^2 + k\). Vérifions \(x \le y\) : \(k+1 \le k^2 + k\) pour \(k \ge 1\) (car \(k^2 \ge 1\)). Donc pour tout \(k\), le point \((k+1, k^2+k)\) est sur la parabole et est un \(k\)-point.

11. Si \((x,y)\) est un \(k\)-couple, montrer que \((mx,my)\) est un \(mk\)-couple.

Soit \((x,y)\) un \(k\)-couple, donc \(xy = k(x+y)\). Considérons \((mx, my)\) avec \(m \in \mathbb{N}^*\). Calculons \((mx)(my) = m^2 xy\). Et \((mk)(mx + my) = mk \cdot m(x+y) = m^2 k (x+y)\). Comme \(xy = k(x+y)\), on a \(m^2 xy = m^2 k (x+y)\). Donc \((mx)(my) = (mk)(mx+my)\). De plus, \(x \le y\) implique \(mx \le my\). Donc \((mx, my)\) est un \(mk\)-couple.

12. En déduire que la droite \((OA)\) contient une infinité de croix si \(A\) en est une.

Soit \(A\) un point qui est une croix, donc il existe \(k\) tel que \(A = (x,y)\) soit un \(k\)-couple. La droite \((OA)\) passe par l'origine et \(A\), son équation est \(y = \frac{y}{x} t\) (paramétrique). Les points sur cette droite sont de la forme \((mx, my)\) pour \(m \in \mathbb{R}\). Pour \(m\) entier naturel non nul, d'après la question 11, \((mx, my)\) est un \(mk\)-couple, donc une croix. Comme il y a une infinité de \(m\) entiers, il y a une infinité de croix sur cette droite.

13. Montrer que toute droite passant par \(O\) de coefficient directeur rationnel \(\ge 1\) contient une infinité de croix.

Soit une droite passant par \(O\) d'équation \(y = ax\) avec \(a \ge 1\) rationnel. Écrivons \(a = \frac{p}{q}\) avec \(p,q\) entiers naturels non nuls, \(p \ge q\) (car \(a \ge 1\)), et fraction irréductible. Les points sur cette droite sont de la forme \((t, \frac{p}{q} t)\) pour \(t \in \mathbb{R}\). Pour que ce soit un point entier, on prend \(t = q m\) avec \(m \in \mathbb{N}^*\), alors le point est \((qm, pm)\). On cherche à montrer que pour tout \(m\), il existe un \(k\) tel que ce soit un \(k\)-couple. D'après la question 11, si on trouve un \(k\)-couple de la forme \((q, p)\) (avec \(q \le p\) car \(a \ge 1\)), alors \((qm, pm)\) sera un \(mk\)-couple. Il faut donc montrer que \((q, p)\) est un \(k\)-couple pour un certain \(k\). Calculons \(k = \frac{qp}{q+p}\). Ce nombre est-il entier ? Pas nécessairement. En fait, on peut choisir \(m\) de sorte que le point soit une croix. On cherche \(m\) tel que \((qm, pm)\) soit un \(k\)-couple, c'est-à-dire \(qm \cdot pm = k (qm + pm)\) soit \(q p m^2 = k m (q+p)\), donc \(k = \frac{q p m}{q+p}\). Pour que \(k\) soit entier, il faut que \(q+p\) divise \(q p m\). Comme \(q\) et \(p\) sont premiers entre eux (fraction irréductible), \(q+p\) est premier avec \(q\) et \(p\) ? Pas forcément. Mais on peut prendre \(m = q+p\), alors \(k = qp\) est entier. Donc le point \((q(q+p), p(q+p))\) est un \(qp\)-couple. Ensuite, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), le point \((n q(q+p), n p(q+p))\) est un \(n qp\)-couple (par question 11). Donc il y a une infinité de croix sur la droite.

14. La droite \(y = x+1\) contient-elle des croix ?

On cherche des points \((x, x+1)\) avec \(x\ge1\) tels qu'il existe \(k\) entier avec \(x(x+1) = k(2x+1)\), soit \(k = \frac{x(x+1)}{2x+1}\). En écrivant \(4x(x+1) = (2x+1)^2 - 1\), on obtient \(4k = (2x+1) - \frac{1}{2x+1}\) : pour que \(k\) soit entier, \(2x+1\) doit diviser 1, ce qui n'arrive pour aucun \(x\ge1\) entier (\(2x+1\ge3\)). Donc la droite \(y=x+1\) ne contient aucune croix.