Exercice académique 1 — Figure \((1,a)\) (tous candidats)

A2/A4. Dans un triangle dont les côtés valent 1 ou \(a\), utiliser Al-Kashi (loi des cosinus) sur chaque configuration possible (équilatéral, isocèle 1-1-\(a\), isocèle \(a\)-\(a\)-1) pour déterminer la nature des angles.

B-D. Pour chaque partie, placer \(D\) en résolvant un système de contraintes de distances (cercles de rayon 1 ou \(a\) centrés en \(A\), \(B\), \(C\)) : chercher les intersections de ces cercles, puis calculer la distance restante par Al-Kashi dans le triangle formé.

E. S'inspirer d'une configuration à haute symétrie (par exemple un pentagone régulier, où toutes les diagonales sont dans un même rapport avec le côté — le nombre d'or).

Partie A

1. Triangle isocèle \(AB=AC=1\), \(BC=\frac32\) : inégalité triangulaire vérifiée (\(1+1>1,5\)), donc réalisable. Exemple : \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(-0,125\,;\,0,992)\).

2. Un triangle rectangle a des côtés \(1,1,a\) ou \(1,a,a\) selon la position de l'hypoténuse. Seul le cas « hypoténuse \(a\), cathètes \(1,1\) » est cohérent avec \(a>1\) : Pythagore donne \(a^2=1+1=2\), donc \(a=\sqrt2\) (triangle rectangle isocèle).

3. Un carré de côté 1 a ses diagonales de longueur \(\sqrt2\) : les 4 sommets forment une figure \((1,\sqrt2)\). Exemple : \(A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1)\).

4. Pour 3 points, les 3 distances valent chacune 1 ou \(a\) : les seuls triangles possibles sont équilatéral de côté 1, équilatéral de côté \(a\), isocèle \(1,1,a\), ou isocèle \(a,a,1\) (aucune configuration à 3 distances distinctes n'est possible puisqu'il n'y a que 2 valeurs disponibles).

Partie B — \(ABC\) équilatéral de côté 1, \(D\) un 4^e point.

5. Le cercle circonscrit à \(ABC\) (équilatéral de côté 1) a pour rayon \(R=\frac{1}{\sqrt3}\approx0,577<1\). Aucun point n'est donc à distance 1 simultanément de \(A,B,C\) : impossible.

6. \(DA=a\), \(DB=DC=1\) : \(D\) est le symétrique de \(A\) par rapport à la droite \((BC)\) (car \(DB=AB=1\), \(DC=AC=1\)). La distance \(AD\) vaut deux fois la hauteur du triangle équilatéral, soit \(2\times\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\). Donc \(a=\sqrt3\) (\(\approx1,732\), bien dans \(]1,2[\)).

7. \(DA=DB=a\), \(DC=1\) : \(D\) est sur la médiatrice de \(AB\). Avec \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(\frac12,\frac{\sqrt3}2)\), on pose \(D(\frac12,y)\) et \(DC=1\) donne \(y=\frac{\sqrt3}2\pm1\). La solution compatible avec \(a>1\) est \(y=\frac{\sqrt3}2+1\), d'où \(a^2=\frac14+\left(\frac{\sqrt3}2+1\right)^2=2+\sqrt3\), donc \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\approx1,932\).

8. Trois distances \(=a\) impose \(DA=DB=DC=a\) (puisque \(AB=AC=BC=1\) déjà) : \(D\) serait alors le centre du cercle circonscrit, de rayon \(\frac{1}{\sqrt3}<1\), incompatible avec \(a>1\). Impossible.

Partie C — \(ABC\) isocèle en \(B\) avec \(AB=BC=1\), \(AC=a\) inconnu ; on ajoute \(D\).

9. Cas 1 : \(DA=DB=DC=1\) — \(D\) est le centre d'un cercle de rayon 1 portant \(A,B,C\). Les cordes \(AB=BC=1\) correspondent chacune à un angle au centre de \(60°\), donc \(\angle ADC=120°\) et \(AC=2\sin60°=\sqrt3\). Donc \(a=\sqrt3\).

Cas 2 : \(DA=DB=DC=a\) — \(D\) est le circoncentre de \(ABC\) (côtés \(1,1,a\)), de rayon \(R=\frac{1\cdot1\cdot a}{4\,\text{Aire}}\). L'équation \(R=a\) mène à \(a^4-4a^2+1=0\), donc \(a^2=2\pm\sqrt3\). Point corrigé par rapport à la version générée : cette équation admet bien deux racines, \(a=\sqrt{2-\sqrt3}\approx0,518\) (rejetée, \(<1\)) et \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\approx1,932\) — cette dernière est valide et non « impossible » comme l'affirmait la rédaction initiale (vérifié explicitement par coordonnées : en plaçant \(A(-\frac a2,0)\), \(C(\frac a2,0)\), \(B(0,h)\) avec \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\), le point \(D=(0,y)\) équidistant des trois sommets donne bien \(DA=DB=DC=a\)). Ce cas ne fournit donc pas de valeur de \(a\) nouvelle : il redonne \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\), déjà trouvée au cas 3 ci-dessous.

Cas 3 : \(DA=DB=1\), \(DC=a\) — \(A,B,D\) équilatéral de côté 1. Avec \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(D(\frac12,\frac{\sqrt3}2)\), le point \(C\) vérifiant \(BC=1\) et \(AC=DC\) (médiatrice de \(AD\) ∩ cercle de centre \(B\)) donne deux solutions \(AC=\sqrt{2+\sqrt3}\) ou \(\sqrt{2-\sqrt3}\) ; seule la première respecte \(a>1\). Donc \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\), avec \(DC=a\) vérifié.

Cas 4 : \(DA=DC=a\), \(DB=1\) — \(A,D,C\) équilatéral de côté \(a\), et \(B\) à distance 1 de ses 3 sommets est son centre, à distance \(\frac{a}{\sqrt3}\). Donc \(a=\sqrt3\).

Récapitulatif Partie C : \(a=\sqrt3\) (cas 1, 4) ou \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\) (cas 2, 3).

Partie D — \(ABC\) équilatéral de côté \(a\) ; on ajoute \(D\).

10. Cas 1 : \(DA=DB=DC=1\) — le cercle circonscrit à un triangle équilatéral de côté \(a\) a pour rayon exact \(R=\frac{a}{\sqrt3}\) (formule sans autre racine, contrairement au cas isocèle). \(R=1\Rightarrow a=\sqrt3\).

Cas 2 : \(DA=DB=DC=a\) — circoncentre à distance \(a\) : \(\frac{a}{\sqrt3}=a\Rightarrow\frac{1}{\sqrt3}=1\), impossible (ici pas d'ambiguïté : la formule du circonradius d'un triangle équilatéral est linéaire en \(a\), une seule solution \(a=0\) exclue).

Cas 3 : \(DA=DB=1\), \(DC=a\) — même équation quartique que Partie C cas 2 : \(a^4-4a^2+1=0\), racine valide \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\). Vérifié par coordonnées explicites : \(A(0,0)\), \(B(a,0)\), \(C\) sommet équilatéral au-dessus, \(D\) intersection des cercles de rayon 1 du côté opposé à \(C\) (point à préciser : la version générée ne précisait pas ce choix de côté, indispensable pour obtenir \(DC=a\) exactement) — calcul numérique : \(DA=DB=1\), \(DC=1,9319\ldots=a\). Confirmé.

Cas 4 : \(DA=DC=a\), \(DB=1\) — \(A,D,C\) équilatéral de côté \(a\), \(B\) centre à distance \(\frac{a}{\sqrt3}=1\Rightarrow a=\sqrt3\).

Récapitulatif Partie D : \(a=\sqrt3\) (cas 1, 4) ou \(a=\sqrt{2+\sqrt3}\) (cas 3) — mêmes valeurs qu'en Partie C.

Partie E

11. Le pentagone régulier de côté 1 a des diagonales toutes de même longueur, égale au nombre d'or \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\approx1,618\) (seules deux longueurs possibles entre sommets : côté et diagonale). Les 5 sommets forment donc une figure \((1,\varphi)\).