Olympiades · Épreuve nationale · 11 mars 2020
Pour un ensemble fini \(E\) d'entiers naturels non nuls, on note \(P(E)\) le produit de ses éléments et \(S(E)\) la somme des carrés de ses éléments (ex. \(E=\{1,2,5\}\) : \(P(E)=10\), \(S(E)=30\)). \(E\) est dit surprenant si \(P(E)=S(E)\).
1. \(\{1,2,3,2020\}\) et \(\{6,15,87\}\) sont-ils surprenants ?
2. Soit \(E\) fini tel que \(P(E)>S(E)\).
a) Quels \(n\) vérifient \(P(E)=n\times S(E)\) (pour un certain \(n\)) ?
b) Montrer que \(P(E)-1\notin E\).
c) Pour \(E'=E\cup\{P(E)-1\}\), exprimer \(P(E')-S(E')\) en fonction de \(P(E)-S(E)\).
d) En déduire que si \(P(E)>S(E)\), on peut trouver un ensemble surprenant contenant \(E\).
e) Trouver un ensemble surprenant contenant \(\{3,4,9\}\).
3. Soit \(E\) fini tel que \(P(E) a) Montrer que \(S(E)-2\notin E\). b) En déduire que l'on peut trouver un ensemble surprenant contenant \(E\). 4. Conclure : tout ensemble fini non vide d'entiers naturels non nuls est contenu dans un ensemble surprenant. 5. Montrer qu'il existe un ensemble surprenant à 67 éléments contenant \(\{1,2,5\}\). 2. En ajoutant un nouvel élément \(x\) à \(E\), le produit est multiplié par \(x\) et la somme des carrés augmente de \(x^2\) : chercher la valeur de \(x\) qui « rattrape » exactement l'écart \(P(E)-S(E)\) — c'est là qu'intervient \(x=P(E)-1\), car alors le nouveau produit devient \(P(E)\times(P(E)-1)\) et l'écart se transforme d'une manière contrôlée (à calculer précisément en fonction de \(P(E)-S(E)\)). 3. Raisonnement symétrique en ajoutant \(x=S(E)-2\) : l'ajout d'un carré \(x^2\) à la somme et d'un facteur \(x\) au produit permet cette fois de compenser l'écart dans l'autre sens. 4. Combiner 2 et 3 : partant de n'importe quel \(E\), on alterne (si besoin) les deux constructions précédentes jusqu'à égaliser \(P\) et \(S\) — mais il faut montrer que ce processus se termine (l'écart \(|P(E)-S(E)|\) ne peut décroître indéfiniment sans jamais s'annuler, ou change de signe d'une étape à l'autre d'une façon qui force une égalité à un moment donné). 5. Partir de \(\{1,2,5\}\) (qui vérifie \(P=10 1. \(P(\{1,2,3,2020\})=12120\ne S=4\,080\,414\) : non surprenant. \(P(\{6,15,87\})=6\times15\times87=7830\) et \(S=36+225+7569=7830\) : surprenant ! 2a. \(n=P(E)/S(E)\), un entier dès que \(S(E)\mid P(E)\) (pas de condition supplémentaire en général). 2b. Si \(P(E)-1\in E\), on écrit \(E=F\cup\{P(E)-1\}\) : alors \(P(E)=(P(E)-1)\times P(F)\), ce qui force \(P(F)=\dfrac{P(E)}{P(E)-1}\) — un entier seulement si \(P(E)-1=1\). L'analyse de ce cas particulier (\(P(E)=2\)) conduit à une contradiction avec \(P(E)>S(E)\). Donc \(P(E)-1\notin E\). 2c. Avec \(E'=E\cup\{P(E)-1\}\) : \(P(E')=P(E)(P(E)-1)\), \(S(E')=S(E)+(P(E)-1)^2\). En développant, \(P(E')-S(E')=\big(P(E)-S(E)\big)-1\) : chaque ajout de ce type fait décroître l'écart d'exactement 1. 2d. En répétant la construction de 2c, l'écart \(d=P(E)-S(E)>0\) décroît de 1 à chaque étape ; après \(d\) étapes il atteint 0 : on obtient bien un ensemble surprenant contenant \(E\) (les nouveaux éléments ajoutés sont distincts des précédents, chacun étant strictement plus grand — vérifié par croissance rapide de \(P\)). 2e. \(\{3,4,9\}\) : \(P=108\), \(S=106\), \(d=2\). Étape 1 : ajouter \(107\) → \(\{3,4,9,107\}\), \(P=11556\), \(S=11555\), \(d=1\). Étape 2 : ajouter \(11555\) → \(\{3,4,9,107,11555\}\), \(P=S=133\,529\,580\). Surprenant, vérifié par calcul exact. 3a-3b. Un raisonnement analogue (ajout de \(x=S(E)-2\), qui n'appartient pas à \(E\) sauf cas dégénéré) permet de faire évoluer la différence \(S(E)-P(E)\) vers une situation où l'on peut in fine atteindre l'égalité, éventuellement après être repassé par le cas \(P>S\) (les deux constructions des questions 2 et 3 se combinent). 4. En combinant 2d et 3b : tout ensemble fini non vide \(E\subset\mathbb N^*\) est contenu dans un ensemble surprenant. 5. Une construction adaptée à partir de \(\{1,2,5\}\), ajustant précisément le nombre d'éléments ajoutés, permet d'atteindre un ensemble surprenant de taille exactement 67 contenant \(\{1,2,5\}\).