Olympiades · Académique Nantes · 11 mars 2020
Pour \(0 \(c\)-mosaïque si \(c\) est strictement inférieur à la largeur \(l\) et si l'on peut quadriller le rectangle par des carrés de côté \(c\) (« \(c\)-carreaux »). Un rectangle est une mosaïque s'il existe un tel \(c>0\). 1. Montrer que \(R(7,9)\) est une \(0{,}5\)-mosaïque. 2. Justifier que \(R(3,4{,}6)\) est une mosaïque ; même question pour \(R(\sqrt{45},\sqrt{80})\). 3. Montrer que tous les carrés sont des mosaïques. Pour les questions 4 à 8, \(l\) et \(L\) sont des entiers naturels avec \(0 4. On considère le rectangle \(R(2020,2222)\) (largeur 2020, longueur 2222). Dresser la liste des entiers \(l\) non nuls tels que \(R(2020,2222)\) soit une \(l\)-mosaïque. 5. Si \(d\) est un diviseur commun de \(l\) et \(L\), \(R(l,L)\) est-il toujours une \(d\)-mosaïque ? 6. Condition nécessaire et suffisante sur \(l,L\) pour que \(R(l,L)\) soit une \(2\)-mosaïque. 7. Nombre de couples \((l,L)\) tels que \(R(l,L)\) soit une \(2\)-mosaïque d'aire 2020. 8. Même question pour un périmètre de 2020. 1. \(7/0{,}5=14\) et \(9/0{,}5=18\) sont des entiers : le rectangle se quadrille exactement. 2. Chercher un réel \(c\) qui divise à la fois \(3\) et \(4{,}6\) (par exemple \(c=0{,}2\)) ou, pour le second cas, mettre \(\sqrt{45}=3\sqrt5\) et \(\sqrt{80}=4\sqrt5\) en évidence : un multiple commun de \(\sqrt5\) convient. 3. Pour un carré de côté \(a\), n'importe quel \(c=a/n\) (\(n\) entier \(\ge2\)) convient. 4-8. Un rectangle \(l\times L\) (entiers) est une \(c\)-mosaïque (avec \(c\) entier) si et seulement si \(c\) divise \(l\) et \(L\) et \(c 1. \(7\div0{,}5=14\) et \(9\div0{,}5=18\) sont des entiers : le rectangle \(7\times9\) se quadrille exactement en carrés de côté \(0{,}5\) (et \(0{,}5<7\)). 2. \(3\div0{,}2=15\) et \(4{,}6\div0{,}2=23\) sont des entiers, et \(0{,}2<3\) : \(R(3,4{,}6)\) est une \(0{,}2\)-mosaïque. Pour \(R(\sqrt{45},\sqrt{80})\) : \(\sqrt{45}=3\sqrt5\), \(\sqrt{80}=4\sqrt5\), donc \(c=\sqrt5\) convient (\(3\sqrt5/\sqrt5=3\), \(4\sqrt5/\sqrt5=4\), entiers, et \(\sqrt5<3\sqrt5\)). 3. Pour un carré de côté \(a\), tout \(c=a/n\) avec \(n\) entier \(\ge2\) convient (\(c 4. \(R(2020,2222)\) est une \(l\)-mosaïque exactement pour les diviseurs communs de \(2020\) et \(2222\) strictement inférieurs à la largeur \(2020\). Or \(\text{pgcd}(2020,2222)=202=2\times101\), de diviseurs \(1,2,101,202\) — tous \(<2020\). Réponse : \(l\in\{1,2,101,202\}\). 5. Oui : si \(d\mid l\) et \(d\mid L\) avec \(d 6. D'après la question 5 (dans un sens) et la définition (dans l'autre), \(R(l,L)\) est une \(2\)-mosaïque si et seulement si \(l\) et \(L\) sont tous deux pairs, et \(l>2\) (c'est-à-dire \(l\ge4\)). 7. On cherche les couples \((l,L)\) avec \(l\times L=2020\), \(l,L\) pairs, \(l\ge4\), \(l\le L\). En listant les diviseurs pairs de \(2020=2^2\times5\times101\) inférieurs ou égaux à \(\sqrt{2020}\approx45\) : seul \(l=10\) donne aussi \(L=2020/10=202\) pair (les autres, \(l=4,20\), donnent \(L=505,101\) impairs). Un seul couple : \((10,202)\). 8. Périmètre \(2(l+L)=2020\Leftrightarrow l+L=1010\). Comme \(1010\) est pair, dès que \(l\) est pair, \(L=1010-l\) l'est automatiquement aussi. Il faut \(4\le l\le L\), soit \(l\le505\) : les entiers pairs de \(4\) à \(504\) conviennent. Nombre de couples : \(\dfrac{504-4}2+1=251\).