Exercice académique 2 — Chaîne-produit (spécialité maths)

Si trois voisins consécutifs sont \(x,y,z\) (dans cet ordre sur le cercle) avec \(y=xz\), alors chaque terme se déduit des deux précédents par \(z=y/x\). En partant de \(a=x_1\) et \(b=x_2\), on obtient \(x_3=b/a\), \(x_4=x_3/x_2=1/a\), \(x_5=x_4/x_3=1/b\), \(x_6=x_5/x_4=a/b\), puis \(x_7=x_6/x_5=a=x_1\) et \(x_8=x_7/x_6=b=x_2\) : la suite est donc automatiquement périodique de période (au plus) 6, quels que soient \(a,b\) choisis au départ. C'est cette structure qui explique pourquoi l'exemple de longueur 6 « se referme » exactement, et pourquoi les longueurs de chaîne-produit possibles sont contraintes (chercher les diviseurs de 6, en excluant les cas où deux termes coïncideraient, ce qui violerait la règle 1).

Pour la partie C, utiliser cette expression explicite des 6 termes en fonction de \(a\) et \(b\) pour traduire la condition « au moins deux entiers, somme entière » en équations sur \(a\) et \(b\).

A1. \((2,5,\frac52,\frac12,\frac15,\frac25)\), longueur 6, somme \(\frac{53}5\).

A2. Non : si un terme vaut 1, alors nécessairement \(a=1\) ou \(b=1\) (car les 4 autres égalités \(x_3=1,x_4=1,x_5=1,x_6=1\) se ramènent toutes à \(a=1\) ou \(b=1\)), et dans ce cas la chaîne \((a,1,1/a,1/a,1,a)\) (ou son analogue) présente des répétitions — donc aucune chaîne-produit valide ne peut contenir 1.

B3. Les six termes sont \(a,b,\frac ba,\frac1a,\frac1b,\frac ab\). En cherchant systématiquement toutes les valeurs de \(b\) (en fonction de \(a\)) qui provoquent une coïncidence entre deux de ces six expressions, on trouve exactement l'ensemble \(\{1,a,\frac1a,\sqrt a,a^2\}\) (en plus de \(b=a\) déjà exclu par hypothèse) : \(b=1\) fait coïncider \(x_4\) et \(x_5\) ; \(b=\frac1a\) fait coïncider \(x_1\) et \(x_5\) ; \(b=\sqrt a\) fait coïncider \(x_2\) et \(x_6\) ; \(b=a^2\) fait coïncider \(x_1\) et \(x_3\).

B4-5. Hexagone \(a\to b\to\frac ba\to\frac1a\to\frac1b\to\frac ab\to a\). Longueur 6, somme \(S=a+b+\dfrac{b+1}a+\dfrac{a+1}b\).

C6a. Les six termes se regroupent en trois paires « opposées » (à distance 3 sur l'hexagone), chaque paire étant formée de deux nombres inverses l'un de l'autre : \((a,\frac1a)\), \((b,\frac1b)\), \((\frac ba,\frac ab)\). Si les deux membres d'une même paire étaient tous deux entiers, leur produit valant 1, ils vaudraient tous deux 1 — exclu (question A2). Donc chaque paire contribue au plus un entier : il y a au plus 3 entiers parmi les six termes.

C6b. Une chaîne à exactement 3 entiers doit prendre exactement un représentant de chaque paire. Une recherche exhaustive (calcul direct) montre qu'il n'existe, à rotation/orientation près, qu'une seule chaîne à somme entière avec 3 entiers : l'ensemble \(\left\{\frac16,\frac13,\frac12,2,3,6\right\}\), de somme \(12\), obtenue par exemple avec \((a,b)=(2,6)\) donnant \((2,6,3,\frac12,\frac16,\frac13)\) — la seconde présentation donnée dans certaines rédactions, \((3,6,2,\frac13,\frac16,\frac12)\), correspond au même ensemble de valeurs parcouru dans l'autre sens.

C7. Oui : \((6,14,\frac73,\frac16,\frac1{14},\frac37)\) est une chaîne-produit contenant 6, de somme exactement \(23\) (vérifié : \(6+14+\frac73+\frac16+\frac1{14}+\frac37=23\)).

C8a. Si deux entiers occupent des positions à distance 2 sur l'hexagone (par exemple \(x_1\) et \(x_3\)), la relation générale « chaque terme est le produit de ses deux voisins », appliquée au terme intermédiaire \(x_2\), donne directement \(x_2=x_1\cdot x_3\) : un produit de deux entiers, donc \(x_2\) est automatiquement entier lui aussi — ce qui donnerait un troisième entier, exclu si on veut exactement deux entiers. Si deux entiers occupent des positions opposées (distance 3), ils forment une paire inverse (question 6a) : impossible sauf à valoir tous deux 1, exclu. Il ne reste donc que la possibilité distance 1 (voisins).

C8b. Avec \(a,b\) entiers voisins \(<100\), la recherche exhaustive (algorithme testant tous les couples \(a,b<100\)) donne exactement six couples \((a,b)\) (à l'échange près) : \((2,3)\), \((6,14)\), \((6,21)\), \((14,35)\), \((21,77)\), \((35,90)\), de sommes respectives \(8\), \(23\), \(31\), \(52\), \(102\), \(128\).

C8c. En cherchant parmi les couples \((a,b)\) contenant \(611=13\times47\) (avec \(a,b\) entiers voisins, \(b/a\) non entier), on trouve deux chaînes à somme entière : \(\{611,1598,\frac{34}{13},\frac{13}{34},\frac1{611},\frac1{1598}\}\) de somme \(2212\), et \(\{611,234,\frac{18}{47},\frac{47}{18},\frac1{611},\frac1{234}\}\) de somme \(848\).

D9. Avec \(t,t+1\) voisins pris comme \(a=t\), \(b=t+1\) : \(S(t)=a+b+\frac ba+\frac1a+\frac1b+\frac ab\) se simplifie en \(S(t)=2t+3+\dfrac2t\). Par l'inégalité arithmético-géométrique, \(2t+\dfrac2t\ge2\sqrt4=4\) (égalité ssi \(t=1\), exclu), donc \(S(t)>4+3=7\) strictement, quelle que soit la position/orientation choisie pour la paire voisine \((t,t+1)\).

D10. Ici \(t\) et \(t+1\) ne sont plus nécessairement voisins (contrairement à la question 9) : en les plaçant à distance 2 sur l'hexagone (par exemple \(x_1=t\) et \(x_3=t+1\), soit \(a=t\), \(b=t(t+1)\)), on obtient \(S(t)=t^2+3t+1+\dfrac2t\), dont le minimum (calcul de dérivée) vaut environ \(6{,}44\) pour \(t\approx0{,}678\). Exemple concret avec \(t=\frac23\) (donc \(t+1=\frac53\)) : \(a=\frac23\), \(b=\frac{10}9\), chaîne \(\left(\frac23,\frac{10}9,\frac53,\frac32,\frac9{10},\frac35\right)\), de somme \(\frac{58}9\approx6{,}44<6{,}5\). C'est en s'éloignant de la contrainte de voisinage que l'on parvient à passer sous la borne de la question 9.