Olympiades · Académique Nantes · 2019 · Série S
Un entier naturel est un palindrome si son écriture décimale se lit pareil de gauche à droite ou de droite à gauche (ex : 4, 77, 282, 6446, 50105). \(2019\) n'est pas un palindrome.
1. Les 15 premiers palindromes sont \(0,1,\dots,9,11,22,33,44,55\). Donner les 15 suivants.
2. Montrer que tout entier naturel est somme de palindromes.
On étudie ensuite le nombre minimal de palindromes nécessaires, pour \(n\) à deux ou trois chiffres.
Deux chiffres (\(n=10d+u\), \(d\geq1\)). 3. Montrer que tout \(n\in[10,20]\) est somme de deux palindromes. 4. Décomposer \(53\) et \(56\). 5. Vérifier que si \(d\leq u\), alors \(n=p_1+p_2\) avec \(p_1=11d\), \(p_2=u-d\). 6. Proposer une décomposition analogue si \(d\geq u+2\). 7. Montrer que \(54\) n'est pas somme de deux palindromes. 8. Lister les entiers à deux chiffres non-sommes de deux palindromes ; sont-ils sommes de trois ?
Trois chiffres (\(n=100c+10d+u\), \(c\geq1\)). 9. Si \(c\leq u\), vérifier \(n=p_1+p_2\) avec \(p_1=101c+10d\), \(p_2=u-c\). 10. Décomposition analogue si \(c\geq u+1\) et \(d\neq0\). 11. Étudier les cas restants (\(c\geq u+1\), \(d=0\)) et déterminer l'unique entier à trois chiffres non-somme de deux palindromes ; donner sa décomposition minimale.
2. Utiliser 0 et 1 (tous deux palindromes) : tout entier est une somme de 1 répétés.
7, 8. Pour \(n=54\), tester systématiquement tous les palindromes \(p<54\) et vérifier que \(54-p\) n'est jamais un palindrome — un argument analogue s'applique à tout \(n\) de la forme \(\overline{(u+1)u}\).
11. Distinguer plusieurs sous-cas selon la valeur de \(c\) (\(c\geq3\), \(c=2\), \(c=1\), \(c=0\)), en adaptant la construction de la question 10 ou en cherchant une décomposition ad hoc pour les petits cas.
1. Palindromes suivants : \(66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202\).
2. \(0\) est un palindrome, et pour tout \(n\geq1\), \(n=1+1+\dots+1\) (\(n\) fois), où \(1\) est un palindrome.
3. \(10=5+5\), \(11=6+5\), ..., \(18=9+9\), \(19=11+8\), \(20=11+9\).
4. \(53=44+9\) et \(56=55+1\).
5. Si \(d\leq u\) : \(0\leq u-d\leq9\), donc \(p_2=u-d\) est un palindrome (un seul chiffre). \(p_1=11d\) est clairement un palindrome (deux chiffres identiques ou un chiffre). Et \(p_1+p_2=11d+(u-d)=10d+u=n\) ✓.
6. Si \(d\geq u+2\) : on propose \(p_1=11(d-1)\), \(p_2=u-d+11\). Comme \(d\geq u+2\), on a \(u-d\leq-2\), donc \(11+u-d\leq9\) ; et \(11+u-d\geq0\) (car \(d\leq9\), \(u\geq0\)). Donc \(p_2\in[0,9]\) est bien un palindrome, et \(p_1+p_2=11d-11+u-d+11=10d+u=n\) ✓.
7. \(54=44+10=33+21=22+32=11+43\) — en énumérant systématiquement, aucune de ces sommes ne donne deux palindromes simultanément : 54 n'est pas somme de deux palindromes.
8. D'après la question 5 (cas \(d\leq u\)) et la question 6 (cas \(d\geq u+2\)), seul le cas restant \(d=u+1\) pose problème. Pour \(n=10=9+1\) (cas \(d=1,u=0\)), une décomposition existe. Pour les autres (\(21,32,43,54,65,76,87,98\)), aucune décomposition en deux palindromes n'existe (preuve analogue à la question 7). Ces huit nombres ne sont pas sommes de deux palindromes, mais ils le sont tous de trois : en leur retirant 1, on écrit \(21=1+9+11\), ..., \(98=1+9+88\).
9. Si \(c\leq u\) : \(0\leq u-c\leq9\), donc \(p_2=u-c\) est un palindrome. \(p_1=101c+10d\) est un palindrome (écriture \(\overline{c\,d\,c}\)). \(p_1+p_2=101c+10d+u-c=100c+10d+u=n\) ✓.
10. Si \(c\geq u+1\) et \(d\neq0\) : on propose \(p_1=101c+10(d-1)\), \(p_2=10+u-c\). \(p_1\) est un palindrome (\(\overline{c\,(d-1)\,c}\), valide car \(d\neq0\)). Comme \(c\geq u+1\) : \(-9\leq u-c\leq-1\), donc \(1\leq10+u-c\leq9\), et \(p_2\) est un palindrome à un chiffre. \(p_1+p_2=101c+10d-10+10+u-c=100c+10d+u=n\) ✓.
11. Reste le cas \(c\geq u+1\), \(d=0\). On distingue :
En soustrayant à \(201\) chacun des 29 palindromes inférieurs à \(201\) (liste de la question 1), on vérifie qu'aucune différence n'est un palindrome. \(201\) est donc l'unique entier à trois chiffres qui n'est pas somme de deux palindromes. Décomposition minimale (trois palindromes) : \(201=1+9+191\) (ou \(201=1+99+101\)).