Olympiades · Épreuve nationale · 27 mars 2018 · Séries autres que S
Une urne contient \(n\ge2\) boules de plusieurs couleurs. On tire successivement, sans remise, deux boules ; le joueur gagne (événement \(G\)) si elles sont de la même couleur. Le jeu est équitable si \(P(G)=\frac12\).
1a. Urne de 10 boules (4 blanches, 6 rouges) : montrer \(P(G)=\frac7{15}\). 1b. Urne de 12 boules (4 blanches, 6 rouges, 2 noires) : calculer \(P(G)\).
2. Urne de 6 rouges et \(x\) blanches. a) Exprimer \(P(G)\) en fonction de \(x\). b) Pour quel(s) \(x\) le jeu est-il équitable ?
3. Urne à 2 couleurs, \(a\) et \(b\) boules. a) Montrer que le jeu est équitable ssi \((a-b)^2=a+b\). b) Réciproquement, construire des couples \((a,b)\) équitables. c) En donner six.
4. Urne à 3 couleurs \((a,b,c)\). a) Pour \(a+b+c=13\), montrer que l'équité impose \(a^2+b^2+c^2=91\) ; en déduire une configuration équitable. b) Si \((x,y)\) est équitable à 2 couleurs, montrer qu'il existe un unique \(z\) tel que \((x,y,z)\) soit équitable à 3 couleurs. c) Donner un tel triplet.
5. Montrer que la configuration à \(m\ge2\) couleurs \((1,3,9,\dots,3^{m-1})\) est toujours équitable.
1-2. \(P(G)=\sum_{\text{couleur}} \dfrac{\text{effectif}}{n}\times\dfrac{\text{effectif}-1}{n-1}\).
3a. Développer \(P(G)=\frac{a^2+b^2-a-b}{(a+b)(a+b-1)}=\frac12\) et simplifier.
3b. Poser \(a+b=p^2\), \(a-b=p\) et résoudre : \(a,b\) sont deux nombres triangulaires consécutifs.
4a. Combiner \(a+b+c=13\) et \(a^2+b^2+c^2=91\) pour obtenir \(a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=78\), puis chercher parmi les valeurs \(k(k-1)\) pour petits \(k\).
4b. Développer la condition d'équité à 3 couleurs sachant que \((x,y)\) est déjà équitable à 2 couleurs, pour isoler une équation du premier degré en \(z\).
5. Calculer \(\sum 3^{2k}\) et \(\sum 3^k\) séparément (sommes géométriques) et simplifier le rapport.
1a. \(P(G)=\frac6{10}\times\frac59+\frac4{10}\times\frac39=\frac{30+12}{90}=\frac{42}{90}=\frac7{15}\).
1b. \(P(G)=\frac6{12}\times\frac5{11}+\frac4{12}\times\frac3{11}+\frac2{12}\times\frac1{11}=\frac{30+12+2}{132}=\frac{44}{132}=\frac13\).
2a. \(P(G)=\dfrac6{6+x}\times\dfrac5{5+x}+\dfrac x{6+x}\times\dfrac{x-1}{5+x}\).
2b. \(P(G)=\frac12\iff2x(x-1)+60=(x+6)(x+5)\iff x^2-13x+30=0\iff(x-3)(x-10)=0\) : le jeu est équitable pour \(x=3\) ou \(x=10\) boules blanches.
3a. \(P(G)=\dfrac{a^2+b^2-a-b}{(a+b)(a+b-1)}=\frac12\iff a^2+b^2-2ab=a+b\iff(a-b)^2=a+b\).
3b. En posant \(a+b=p^2\) et \(a-b=p\), on trouve \(a=\frac{p^2+p}2\), \(b=\frac{p^2-p}2\) : \(a,b\) sont deux nombres triangulaires consécutifs.
3c. Six couples : \((3,1)\), \((6,3)\), \((10,6)\), \((15,10)\), \((21,15)\), \((28,21)\).
4a. De \(a+b+c=13\) et (condition d'équité) \(a^2+b^2+c^2=91\), on tire \(a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)=78\), à choisir parmi \(0,2,6,12,20,30,42,56,72\) : seule possibilité \(\{0,6,72\}\), soit \((a,b,c)=(1,3,9)\) à permutation près.
4b. La condition d'équité à 3 couleurs se ramène, sachant \((x,y)\) déjà équitable à 2 couleurs (\((x-y)^2=x+y\)), à \(z=2x+2y+1\).
4c. À partir des couples de la question 3c : \((6,3)\to z=2\times6+2\times3+1=19\), soit \((6,3,19)\) ; \((10,6)\to z=33\), soit \((10,6,33)\).
5. Avec \(a_k=3^{k-1}\) pour \(k=1,\dots,m\) : \(\sum a_k=\frac{3^m-1}2\) et \(\sum a_k^2=\frac{9^m-1}8\). On vérifie que \(P(G)=\dfrac{\sum a_k^2-\sum a_k}{\left(\sum a_k\right)\left(\sum a_k-1\right)}=\frac12\) pour tout \(m\ge2\).