Olympiades · Épreuve nationale · 27 mars 2018 · Tous candidats
Un triangle est à peu près rectangle en un sommet si l'angle en ce sommet est dans \([75°,105°]\). Il est à peu près isocèle en un sommet si les deux autres angles diffèrent d'au plus \(15°\).
1a. Un triangle rectangle est-il à peu près rectangle ? Un triangle isocèle est-il à peu près isocèle ?
1b. Un triangle peut-il être rectangle en deux sommets ? À peu près rectangle en deux sommets ? Dans ce cas, s'il est de plus acutangle, est-il à peu près isocèle ?
2. Existe-t-il un triangle acutangle qui ne soit ni à peu près rectangle, ni à peu près isocèle ?
3. Écrire un programme testant si un triangle dont on connaît les trois angles est à peu près isocèle.
Deux points sont à peu près égaux si leur distance est \(\le 0{,}1\). Deux segments sont à peu près de même longueur si leurs longueurs diffèrent de \(0{,}1\) ou moins. Un triangle est à peu près équilatéral si ses trois côtés diffèrent deux à deux de \(0{,}1\) ou moins.
4a. Un triangle rectangle d'hypoténuse exactement 1 peut-il être à peu près équilatéral ? 4b. Un triangle rectangle peut-il être à peu près équilatéral ?
5. On considère un cercle de centre \(O\) et de rayon exactement 2, un point \(A\) fixe du cercle et \(D\) mobile sur le cercle. Soit \(I\) le milieu de \([AD]\) et \(F\) le projeté orthogonal de \(O\) sur \((AD)\). a) Représenter l'ensemble des points \(D\) pour lesquels \(I\) et \(F\) sont à peu près égaux, et calculer sa longueur (arrondie au centième). b) Si \(I\) et \(F\) sont à peu près égaux, le triangle \(OFA\) (ou \(OAD\)) est-il à peu près équilatéral ?
On représente chaque triangle par ses deux plus petits angles \((x,y)\) dans un repère (1 cm pour 10°).
6. Représenter le domaine \(\mathcal T\) de tous les triangles, le point des triangles équilatéraux, l'ensemble des triangles rectangles.
7. Quelle partie de \(\mathcal T\) représente les triangles acutangles ? Quelle est leur proportion (rapport d'aires) ?
8. Même question pour les triangles acutangles à peu près rectangles.
1-2. Un triangle rectangle a un angle de \(90°\in[75°,105°]\) ; un triangle isocèle a deux angles égaux (différence \(0\le15°\)). Pour la question 2, majorer strictement les trois angles d'un triangle acutangle non à peu près rectangle et non à peu près isocèle (ordonner les angles) et sommer.
4a. Pythagore : si l'hypoténuse vaut 1, les côtés de l'angle droit \(a,b\) vérifient \(a^2+b^2=1\) ; majorer le plus petit des deux.
5. \(OI\) est la médiane de \(OAD\) et \(OF\) la hauteur relative à \((AD)\) dans le triangle isocèle \(OAD\) (\(OA=OD=2\)) : comparer \(OI\) et \(OF\) via l'angle \(\widehat{AOD}\), en utilisant \(OI=2\cos(\widehat{AOD}/2)\) type de relation dans un triangle isocèle.
6-8. Les deux angles \((x,y)\) d'un triangle vérifient \(x,y>0\) et \(x+y<180°\) : c'est l'intérieur d'un triangle \(\mathcal T\). Les conditions « rectangle », « acutangle », « à peu près rectangle » se traduisent par des droites (ou bandes) dans ce repère.
1a. Un triangle rectangle en \(A\) a un angle de \(90°\in[75°,105°]\) : il est à peu près rectangle. Un triangle isocèle a deux angles égaux (différence \(0\le15°\)) : il est à peu près isocèle.
1b. Un triangle ne peut avoir deux angles droits, mais il peut avoir deux angles dans \([75°,105°]\) (ex. \(95°,75°,10°\)). Si tous ses angles sont de plus aigus, alors deux d'entre eux sont dans \([75°,90°[\), donc diffèrent de moins de \(15°\) : il est alors à peu près isocèle.
2. Non : le plus grand angle d'un tel triangle mesurerait strictement moins de \(75°\), le « moyen » strictement moins de \(60°\), le plus petit strictement moins de \(45°\) — somme strictement inférieure à \(180°\), contradiction.
3. Programme : tester successivement \(|A-B|\le15\) (isocèle en \(C\)), sinon \(|A-C|\le15\) (isocèle en \(B\)), sinon \(|B-C|\le15\) (isocèle en \(A\)), sinon « non à peu près isocèle ».
4a. Avec hypoténuse 1, les côtés \(a\le b\) vérifient \(a^2+b^2=1\), donc \(2a^2\le1\), \(a\le\frac1{\sqrt2}<0{,}8\) : le triangle ne peut être à peu près équilatéral.
4b. Oui : par exemple un triangle rectangle de côtés \(0{,}03\), \(0{,}04\), \(0{,}05\) (triplet pythagoricien \(3,4,5\)) est à peu près équilatéral.
5a. Les points \(D\) à peu près égaux (\(I,F\) à moins de \(0{,}1\)) correspondent à deux arcs symétriques du cercle. En posant \(\cos\widehat{AOF}=0{,}55\) et \(\cos\widehat{AOD_{\min}}=0{,}45\) (bornes issues de la condition \(|OI-OF|\le0{,}1\) avec \(OA=OD=2\)), on obtient les angles \(56{,}633°\) et \(63{,}2563°\), de différence \(6{,}6233°\). La longueur totale des deux arcs (rayon 2) est \(2\times2\times\frac{6{,}6233\pi}{180}\approx\boxed{0{,}46}\).
5b. Dans le triangle rectangle \(AFI''\) (où \(I''\) est une extrémité de l'arc), \(AF^2=0{,}9^2+(4-1{,}1^2)=3{,}6\), donc \(AF\approx1{,}897<1{,}9\) : le triangle \(OFA\) n'est pas à peu près équilatéral (côtés \(OF\approx2\), \(OA=2\), \(AF<1{,}9\), écarts \(>0{,}1\)).
6. Le domaine \(\mathcal T\) est l'intérieur d'un triangle \(ABO\) ; le point des triangles équilatéraux a pour coordonnées \((6,6)\) (angles de \(60°\) représentés par 6 cm) ; les triangles rectangles sont représentés par les côtés d'un triangle \(FHG\) privés de leurs extrémités.
7. Les triangles acutangles sont représentés par l'intérieur de \(FGH\), dont l'aire vaut le quart de celle de \(\mathcal T\) : leur proportion est donc un quart (au sens du rapport d'aires — attention, on raisonne ici sur un ensemble infini, ce n'est pas une vraie probabilité).
8. Le triangle \(IJK\) des triangles acutangles à peu près rectangles a des côtés moitié de ceux de \(FGH\), donc une aire quart de celle de \(FGH\) : sa proportion dans \(\mathcal T\) est \(\frac34\times\frac14=\frac3{16}\).