Olympiades · Académique Nantes · 27 mars 2018 · Séries autres que S
Règle A. Le joueur mise 4 €, lance un dé équilibré une ou plusieurs fois et note la somme des résultats. La partie s'arrête quand la somme dépasse strictement 7, ou quand le joueur le décide. Si la somme finale est \(\le7\), il reçoit ce montant en euros ; sinon il ne reçoit rien.
Cinq stratégies sont envisagées : S1 s'arrêter après le premier lancer ; S2 relancer seulement si le premier résultat est 1 ; S3 lancer systématiquement deux fois ; S4 s'arrêter dès que la somme atteint au moins 3 ; S5 s'arrêter dès que la somme atteint au moins 4.
1. Montrer qu'avec S1, le gain moyen est de \(3{,}50\)€ reçus, donc le jeu est défavorable au joueur.
2. Montrer qu'avec S2, la probabilité d'obtenir une somme égale à 2 est \(\frac{7}{36}\).
3. Parmi les cinq stratégies, laquelle est la plus intéressante pour le joueur ?
Règle B. La mise est de 3 €, et il faut payer 0,50 € à chaque nouveau lancer à partir du second. 1. Avec cette règle, quelle est la meilleure stratégie ? 2. Quelle règle (A ou B) conseiller au joueur, pour chacune des cinq stratégies ?
Pour chaque stratégie, dénombrer les issues sur l'arbre des lancers de dé (2 lancers au plus pour S1-S3, jusqu'à 4 lancers pour S5) en tenant compte que dépasser 7 fait perdre la mise sans rien recevoir. Ne pas oublier de compter aussi les issues où la somme dépasse 7 (le joueur a quand même payé les lancers supplémentaires en règle B).
Règle A (gain net moyen, mise de 4 € déduite) :
| Stratégie | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Gain moyen | \(-0{,}50\) | \(+\frac1{12}\) | \(-\frac89\) | \(+\frac{109}{216}\) | \(+\frac{425}{648}\) |
La stratégie S5 est la plus intéressante en règle A (gain moyen \(\approx+0{,}656\)€).
Règle B (gain net moyen, mise de 3 € + 0,50 € par lancer à partir du 2\(^\text{e}\)) :
| Stratégie | S1 | S2 | S3 | S4 | S5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Gain moyen | \(+0{,}50\) | \(+1\) | \(-\frac7{18}\) | \(+\frac{143}{108}\) | \(+\frac{1765}{1296}\) |
La règle B est plus avantageuse que la règle A pour toutes les stratégies sauf S2 et S3 (inchangées). La stratégie S5 reste la meilleure, quelle que soit la règle.