Olympiades · Académique Nantes · 27 mars 2018 · Série S
Une carte bancaire est schématisée par un rectangle \(ABCD\) de longueur \(L\) et de largeur \(\ell\), avec \(\ell\le L\). On appelle « volume de carte » le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la carte autour de sa diagonale \([AC]\). Le disque \(D_1\) (resp. \(D_2\)) est la section perpendiculaire à \((AC)\) passant par \(B\) (resp. \(D\)) ; le disque \(D_3\) est la section passant par le milieu de \([AC]\).
1. Justifier que le rayon \(R\) des disques \(D_1\) et \(D_2\) est égal à \(\dfrac{\ell L}{\sqrt{\ell^2+L^2}}\).
2. Justifier que le rayon \(r\) du disque \(D_3\) est égal à \(\dfrac{\ell\sqrt{\ell^2+L^2}}{2L}\).
3. Pour \(L=8{,}6\text{ cm}\) et \(\ell=5{,}4\text{ cm}\), calculer le « volume de carte » (arrondi au centime).
4. \(L\) étant fixée, existe-t-il un format \(L/\ell\) rendant le volume de carte maximal ?
Formule utile : volume d'un cône \(=\frac13\times\)aire de la base \(\times\) hauteur.
1. \(R\) est la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle rectangle de côtés \(\ell,L\) et d'hypoténuse \(\sqrt{\ell^2+L^2}\) : exprimer l'aire de ce triangle de deux façons.
2. Le solide n'est pas un simple bicône : les projetés orthogonaux de \(B\) et de \(D\) sur \((AC)\) sont deux points distincts (sauf si \(\ell=L\)). Le rayon du solide en tout point de \((AC)\) est le maximum des deux profils triangulaires issus de \(B\) et de \(D\) ; retrouver \(r\) par un calcul de proportionnalité (triangles semblables) à partir de \(R\) et de la position du milieu de \([AC]\) par rapport aux deux pieds de hauteur.
3-4. Découper le solide en cônes de révolution successifs (de rayon \(R\)) et calculer le volume total par somme de volumes de cônes ; pour la question 4, poser \(x=L/\ell\) (\(L\) fixé) et étudier les variations du volume en fonction de \(x\).
1. Notons \(D=\sqrt{\ell^2+L^2}=AC\). L'aire du triangle rectangle \(ABC\) (droit en \(B\)) vaut à la fois \(\frac12\ell L\) (produit des côtés de l'angle droit) et \(\frac12 D\cdot R\) (base \(D\), hauteur \(R\) issue de \(B\)). D'où \(R=\dfrac{\ell L}{D}\).
2. Notons \(H_B\) le pied de la hauteur issue de \(B\) (à distance \(AH_B=L^2/D\) de \(A\), propriété du triangle rectangle) et \(H_D\) le pied de la hauteur issue de \(D\) (à distance \(AH_D=\ell^2/D\) de \(A\)). Comme \(\ell 3. Le solide est en réalité l'enveloppe (le rayon maximal en chaque point) des deux bicônes associés à \(B\) et à \(D\) : le volume ne se réduit pas à celui d'un unique bicône de rayon \(R\). Avec \(L=8{,}6\), \(\ell=5{,}4\) : \(D\approx10{,}1548\), \(R\approx4{,}5732\), et le calcul du volume de l'enveloppe donne \(V\approx336{,}72\text{ cm}^3\). 4. En posant \(x=L/\ell\) (\(L\) fixé), l'étude des variations du volume en fonction de \(x\) donne un maximum unique pour \(x_{\max}\approx1{,}058\), soit un format optimal \(\boxed{L/\ell\approx1{,}06}\) (proche du carré).