Olympiades · Académique Nantes · 18 mars 2015 · Série S
On considère des fonctions \(f\) admettant le tableau de variations (T) suivant : \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(2015\) sur \(]-\infty,2014]\), puis croît de \(2015\) à \(+\infty\) sur \([2014,+\infty[\). Les trois questions sont indépendantes.
1. Donner un exemple de fonction \(f\) admettant ce tableau (expression et allure graphique).
2. Si \(f(x)=ax^2+bx+c\) admet ce tableau, déterminer le signe de \(a,b,c\).
3. Si \(f(x)=p(x)^2\) avec \(p(x)=ux^2+vx+w\) (\(u\ne0\)) admet ce tableau, et que \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\) une fois développé, déterminer le signe strict de chacun des cinq réels \(a,b,c,d,e\) (vérifier au préalable qu'aucun n'est nul).
1. Chercher une fonction du type \((x-2014)^2+2015\).
2. Le sommet de la parabole est en \(x=-b/2a\) et vaut \(f(2014)=2015\) ; utiliser \(c=f(0)\).
3. Développer \(f(x)=(ux^2+vx+w)^2\) et identifier \(a,b,c,d,e\) en fonction de \(u,v,w\). Utiliser le fait que \(f(x)\ge2015>0\) pour montrer que \(p\) garde un signe constant, donc a un discriminant négatif.
1. \(f(x)=(x-2014)^2+2015\) convient (parabole de sommet \((2014,2015)\)).
2. \(a>0\) (branches vers le haut). \(c=f(0)>f(2014)=2015>0\) donc \(c>0\). Sommet en \(-\frac b{2a}=2014\), donc \(b=-2a\times2014<0\) (car \(a>0\)).
3. En développant : \(a=u^2\), \(b=2uv\), \(c=v^2+2uw\), \(d=2vw\), \(e=w^2\). Comme \(u\ne0\) : \(a=u^2>0\). Comme \(e=f(0)>2015>0\) : \(e=w^2>0\), donc \(w\ne0\). Puisque \(f(x)\ge2015>0\) pour tout \(x\), \(p(x)\ne0\) partout : le trinôme \(p\) garde un signe constant, donc son discriminant \(v^2-4uw<0\), soit \(uw>\frac{v^2}4>0\) : \(u,w\) de même signe. Le sommet de \(p^2\) (donc de \(f\)) est en \(x=2014=-\frac v{2u}\), donc \(u,v\) de signes contraires (et non nuls) : \(b=2uv<0\). Alors \(v,w\) sont de signes contraires (car \(u,w\) même signe, \(u,v\) contraires), donc \(d=2vw<0\). Enfin \(c=v^2+2uw\), somme de deux termes strictement positifs, donc \(c>0\).