Olympiades · Académique Nantes · 18 mars 2015 · Série S
Un nombre palindrome se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche (ex. \(16461\)). On note un nombre à \(n\) chiffres \(a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_0\). Toutes les questions sont indépendantes.
1. Nous sommes en 2015 : quelle est la prochaine année palindrome ?
2. Un nombre est multiple de 9 si la somme de ses chiffres l'est. a) Palindromes à 2 chiffres multiples de 9 ? b) Dénombrer et donner les palindromes à 3 chiffres multiples de 9.
3. Un nombre est multiple de 11 si l'écart entre la somme des chiffres de rang pair et celle des chiffres de rang impair est multiple de 11. a) Justifier que \(8\,766\,532\,423\) est multiple de 11. b) Montrer qu'un palindrome à nombre pair de chiffres est multiple de 11. c) En déduire que le seul palindrome premier à nombre pair de chiffres est 11.
4. Soient \(p_1,p_2\) deux palindromes distincts d'au moins 2 chiffres. a) Écart minimal possible ? b) Même question à nombre de chiffres égal.
5. Combien y a-t-il de palindromes à 2015 chiffres ?
2b. Un palindrome à 3 chiffres s'écrit \(a_0a_1a_0\) : la condition multiple de 9 porte sur \(2a_0+a_1\).
3b. Dans un palindrome à nombre pair de chiffres, chaque chiffre apparaît une fois en position paire et une fois en position impaire (symétrie).
4. Fixer le nombre de chiffres et regarder ce qui doit rester identique entre \(p_1\) et \(p_2\) (les chiffres extrêmes, par symétrie) pour que la différence soit minimale.
5. Un palindrome de 2015 chiffres est entièrement déterminé par sa première moitié (1008 premiers chiffres, le premier ne pouvant être 0).
1. 2112 (trop tard pour une année en 200x).
2a. Un seul : 99.
2b. En écrivant \(p=a_0a_1a_0\) avec \(2a_0+a_1=9k\), on trouve 10 palindromes : \(\{171,252,333,414,585,666,747,828,909,999\}\).
3a. \(8-7+6-6+5-3+2-4+2-3=0\), multiple de 11.
3b. Dans un palindrome à \(n\) chiffres (\(n\) pair), chaque chiffre \(a_i\) apparaît une fois en position paire et une fois en position impaire (par symétrie) : la différence des sommes est donc nulle, multiple de 11.
3c. D'après 3b, un tel palindrome est multiple de 11 : s'il est premier, il vaut nécessairement 11.
4a. \(101-99=2\) : c'est le minimum possible (sauf nombres à 1 chiffre).
4b. À nombre de chiffres égal, l'écart minimal est 10 (ex. \(131-121\) à 3 chiffres ; à 4 chiffres et plus, les chiffres extrêmes étant liés par symétrie, l'écart minimal reste 10).
5. Un palindrome à 2015 chiffres est fixé par son premier chiffre (9 choix, non nul) et les 1007 chiffres suivants dont le dernier (chiffre central) libre (10 choix chacun) : \(9\times10^{1007}\) palindromes.