Olympiades · Académique Nantes · 18 mars 2015 · Séries autres que S
Un nombre palindrome se lit indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche (ex. \(16461\)). Toutes les questions sont indépendantes.
1. Nous sommes en 2015 : quelle est la prochaine année palindrome ?
2. Trouver le plus petit palindrome à 6 chiffres utilisant uniquement les chiffres 2 et 3 (chacun au moins une fois).
3. Trouver le plus petit palindrome utilisant tous les chiffres de 0 à 9 (chacun au moins une fois).
4. Soient \(p_1,p_2\) deux palindromes distincts d'au moins 2 chiffres, de même nombre de chiffres : écart minimal ?
5. Le retournement d'un nombre inverse l'ordre de ses chiffres (ex. le retournement de 2015 est 5102). Pour un nombre à 2 chiffres, dans quel(s) cas la somme du nombre et de son retournement est-elle un palindrome ?
6. Combien y a-t-il de palindromes à 2015 chiffres ?
2-3. Pour minimiser un palindrome, minimiser ses chiffres de poids fort (de gauche) un par un, tout en respectant les contraintes.
5. Écrire le nombre \(\overline{ab}=10a+b\) et son retournement \(\overline{ba}=10b+a\) ; leur somme se factorise simplement.
6. Un palindrome de 2015 chiffres est fixé par sa première moitié.
1. 2112.
2. En minimisant chiffre par chiffre (2 avant 3), on obtient 223 322.
3. En minimisant de même les chiffres de plus fort poids : 1 023 456 789 876 543 201 (19 chiffres).
4. Pour 2 ou 3 chiffres, écart minimal 10 ou 11 selon les cas ; à partir de 4 chiffres, les chiffres extrêmes étant liés par symétrie, l'écart minimal reste 10 pour tout nombre de chiffres \(\ge3\).
5. \(\overline{ab}+\overline{ba}=11(a+b)\). C'est un palindrome (l'un des multiples de 11 de 11 à 99, ou 121) sauf si \(a+b=10\) (résultat 110, non palindrome) ou \(a+b>11\) (résultats 132 à 198, non palindromes).
6. Comme à l'exercice précédent : \(9\times10^{1007}\) palindromes à 2015 chiffres.