Olympiades · 18 mars 2015 · Tous candidats
Clémence aligne des triangles équilatéraux identiques de côté 1 pour former des quadrilatères \(ABCD\). On note \(L=AC\) la grande diagonale et \(l=BD\) la petite.
Partie A. 1. Calculer la hauteur d'un triangle équilatéral de côté 1. 2. Calculer \(l\) et \(L\) pour 2, 3, 4 et 6 triangles.
Partie B. On note \(n\ge2\) le nombre de triangles alignés. 1. Si \(n\) est pair, montrer que la plus grande diagonale vaut \(L=\sqrt{p^2+p+1}\) où \(p=n/2\). 2. En ajoutant un triangle, que deviennent \(l\) et \(L\) ? 3. Pour \(n=56\), calculer \(l\) et \(L\).
Partie C. Léa conjecture : (1) \(L\) est toujours la racine d'un nombre impair ; (2) \(L\) est toujours la racine d'un nombre premier. 1. Valider ou invalider. 2. La racine de tout nombre premier est-elle une diagonale possible ? 3. Pourquoi ne peut-on obtenir \(\sqrt{2015}\) ? 4. Une diagonale mesure \(\sqrt{1\,015\,057}\) : combien de triangles, toutes réponses possibles ? 5. Clémence affirme que sur les grands quadrilatères, ajouter deux triangles augmente la diagonale d'environ 1 : le vérifier, puis le démontrer.
A1. Pythagore dans le demi-triangle équilatéral.
B1. Pour \(n=2p\), la grande diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés \(p+\frac12\) et \(\frac{\sqrt3}2\).
C3-4. Résoudre \(p^2+p+1=N\) revient à étudier si \(4N-3\) est un carré parfait (discriminant de l'équation du second degré en \(p\)).
C5. Calculer \(L(p+1)-L(p)\) en multipliant par la quantité conjuguée, puis étudier la limite quand \(p\to+\infty\).
A1. \(AH^2=AC^2-CH^2=1-\frac14=\frac34\), donc \(AH=\dfrac{\sqrt3}2\).
A2. 2 triangles : \(l=1\), \(L=\sqrt3\). 3 triangles (trapèze isocèle) : les deux diagonales valent \(\sqrt3\). 4 triangles : \(L=\sqrt7\) (Pythagore, \(AC^2=6{,}25+0{,}75\)), \(l=\sqrt3\). 6 triangles : \(L=\sqrt{13}\), \(l=\sqrt7\).
B1. \(L^2=\left(p+\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2=p^2+p+\frac14+\frac34=p^2+p+1\).
B2. La figure devient un trapèze isocèle dont les deux diagonales valent \(L\) (la valeur de la question précédente).
B3. Pour \(n=56\), \(p=28\) : \(L=\sqrt{28^2+28+1}=\sqrt{813}\) ; \(l=\sqrt{27^2+27+1}=\sqrt{757}\).
C1. \(p^2+p=p(p+1)\) est toujours pair, donc \(p^2+p+1\) est toujours impair : la 1re propriété est validée. La 2e est invalidée : \(7^2+7+1=57=3\times19\) n'est pas premier.
C2. Non : \(\sqrt2\) (racine du nombre premier pair 2) ne peut apparaître, car la suite des \(L\) est strictement croissante et \(\sqrt3,\sqrt7\) en sont deux termes consécutifs (aucune place pour \(\sqrt2<\sqrt3\)).
C3. \(p^2+p+1=2015\iff\left(p+\frac12\right)^2=2014{,}25\) : ce nombre n'est le carré d'aucun décimal, donc pas de solution entière.
C4. \(\left(p+\frac12\right)^2=1\,015\,056{,}25=1007{,}5^2\), donc \(p=1007\) (l'autre racine étant négative). Trois quadrilatères conviennent : 2014 triangles (grande diagonale), 2015 triangles (les deux diagonales égales), 2016 triangles (petite diagonale).
C5. \(L(p+1)-L(p)=\dfrac{2+\frac2p}{\sqrt{1+\frac3p+\frac3{p^2}}+\sqrt{1+\frac1p+\frac1{p^2}}}\to\dfrac22=1\) quand \(p\to+\infty\) : la conjecture de Clémence est démontrée.