Olympiades · Académique Nantes · 2014 · Série S
Un entier \(A>0\) est dit quadripartite s'il existe 4 entiers positifs \(a,b,c,d\) et un entier positif \(m\) tels que \(A=a+b+c+d\), et tels que les quatre nombres \(a+m\), \(b-m\), \(c\times m\), \(\frac dm\) soient égaux. \(m\) est l'opérateur de \(A\). Exemple : \(A=8\) est quadripartite d'opérateur \(m=1\), éléments \(a=1,b=3,c=2,d=2\).
1. Vérifier que \(500\) est quadripartite d'opérateur \(4\), éléments \(a=76,b=84,c=20,d=320\).
2. Vérifier que \(288\) est quadripartite d'opérateur \(2\) et d'opérateur \(3\).
3a. Pour \(m,c\) entiers non nuls, \(A=c(m+1)^2\) : montrer que \(A\) est quadripartite en déterminant \(a,b,d\) en fonction de \(A,m\). 3b. Réciproquement, montrer que si \(A\) est quadripartite d'opérateur \(m\), alors \(\dfrac A{(m+1)^2}\) est entier.
4a. \(A=2\times19^2\times53^2\) : montrer que \(A\) est quadripartite et déterminer tous les opérateurs possibles. 4b. \(2014\) est-il quadripartite ?
5. Plus petit et plus grand nombre quadripartite à 5 chiffres d'opérateur \(13\), avec leurs éléments \(a,b,c,d\).
6. Démontrer que \(18\,126\) est quadripartite et n'a qu'un seul opérateur ; donner ses éléments.
3a. Poser \(k\) la valeur commune \(a+m=b-m=cm=d/m\), en déduire \(a,b,d\) en fonction de \(c,m\), puis sommer.
3b. Reprendre le calcul de 3a « à l'envers » : à partir de \(A=a+b+c+d\) et des égalités entre les quatre expressions, exprimer \(A\) sous la forme \(c(m+1)^2\).
4a, 6. D'après 3b, \((m+1)^2\) doit diviser \(A\) : décomposer \(A\) en facteurs premiers et chercher tous les diviseurs de \(A\) qui sont des carrés parfaits \(>1\).
5. Avec \(m=13\) fixé, \(A=196c\) : chercher le plus petit et le plus grand multiple de 196 à 5 chiffres.
1. \(76+84+20+320=500\) ✓ et \(76+4=84-4=20\times4=\frac{320}4=80\) ✓.
2. Opérateur \(2\) : \(a=62,b=66,c=32,d=128\) (\(62+66+32+128=288\), valeur commune \(64\)). Opérateur \(3\) : \(a=51,b=57,c=18,d=162\) (somme \(288\), valeur commune \(54\)).
3a. Posons \(a=m(c-1)\), \(b=m(c+1)\), \(d=cm^2\) : alors \(a+m=b-m=cm=\frac dm\) (valeur commune \(cm\)), et \(a+b+c+d=(m^2+2m+1)c=(m+1)^2c=A\). \(A\) est donc quadripartite d'opérateur \(m\), avec \(a=m\left[\frac A{(m+1)^2}-1\right]\), \(b=m\left[\frac A{(m+1)^2}+1\right]\), \(d=\left(\frac m{m+1}\right)^2A\).
3b. Si \(A\) quadripartite d'opérateur \(m\) : \(a+b+c+d=mc-m+mc+m+c+cm^2=(m+1)^2c=A\), donc \(c=\dfrac A{(m+1)^2}\), qui doit être entier (car \(c\) est un des quatre éléments).
4a. \(A\) doit être divisible par \((m+1)^2\), avec \(A=2\times19^2\times53^2\). Comme \(2\) n'apparaît qu'à la puissance 1, \((m+1)^2\) ne peut contenir de facteur \(2\) : les seuls carrés diviseurs de \(A\) sont \(19^2\), \(53^2\) et \((19\times53)^2\), donnant \(m=18\), \(m=52\) ou \(m=1006\) (\(=19\times53-1\)).
| \(m\) | 18 | 52 | 1006 |
|---|---|---|---|
| \(a,b,c,d\) | 101106, 101142, 5618, 1820232 | 37492, 37596, 722, 1952288 | 1006, 3018, 2, 2024072 |
4b. \(2014=2\times19\times53\), produit de trois nombres premiers distincts (chacun à la puissance 1) : aucun carré \(>1\) ne divise \(2014\), donc aucun \(m\) ne convient. \(2014\) n'est pas un nombre quadripartite.
5. Avec \(m=13\) : \(A=196c\) (\(196=14^2\)). Le plus petit multiple de 196 à 5 chiffres est \(196\times52=\boxed{10192}\) (éléments \(a=663,b=689,c=52,d=8788\)) ; le plus grand est \(196\times510=\boxed{99960}\) (éléments \(a=6617,b=6643,c=510,d=86190\)).
6. \(18126=9\times2014=2\times3^2\times19\times53\). Seul \(9=3^2\) est un carré \(>1\) divisant \(18126\) : \(m=2\) est l'unique opérateur possible, avec \(c=18126/9=2014\), \(a=4026\), \(b=4030\), \(d=8056\).