Olympiades · Académique Nantes · 2013 · Série scientifique
ArithmétiqueInégalités
Une calculatrice un peu spéciale ne comporte que 13 touches : les 9 chiffres de 1 à 9, les deux parenthèses, une touche « = », et une touche opératoire \(\odot\) qui vérifie pour tous nombres \(a\) et \(b\) : \(a\odot b=2-\dfrac ab\). Exemple : \(2\odot4=2-\frac24=\frac32\).
1. Calculer \(a\odot a\), \(a\odot1\), \(1\odot a\), \(2\odot1\), \(2\odot(3\odot3)\).
2. La séquence \(3\odot(2\odot1)\) donne MathErreur. Pourquoi ? Peut-on retrouver le même problème sans utiliser le 1 ? Si oui, donner un exemple.
3. \(a,b,c\) sont des chiffres de 1 à 9. Vrai ou faux, avec justification : a) il existe \(a\neq b\) tels que \(a\odot b=b\odot a\). b) pour tous \(a,b,c\) : \((a\odot b)\odot c=a\odot(b\odot c)\).
4. On tape \(a\odot b\) en prenant au hasard deux chiffres. a) Valeur minimale de \(a\odot b\) et sa probabilité. b) Valeur maximale et sa probabilité. c) Probabilité d'obtenir \(\frac53\).
5. On tape \((a\odot b)\odot c\) en prenant au hasard trois chiffres. a) Valeur minimale et sa probabilité. b) Valeur maximale et sa probabilité. c) Probabilité d'obtenir 2.
4a, 4b. \(a\odot b=2-\frac ab\) est une fonction décroissante de \(\frac ab\) : minimiser \(a\odot b\) revient à maximiser \(\frac ab\) (donc \(a\) grand, \(b\) petit), et réciproquement.
5a, 5b. \((a\odot b)\odot c=2-\frac{a\odot b}c\) : comme \(a\odot b\) peut être négatif (jusqu'à \(-7\)) ou positif (jusqu'à \(\frac{17}9\)), réfléchir séparément aux deux cas pour savoir quel choix de \(a\odot b\) et de \(c\) rend \(\frac{a\odot b}c\) extrémal.
5c. \((a\odot b)\odot c=2\iff\dfrac{a\odot b}c=0\iff a\odot b=0\) (quel que soit \(c\), qui ne s'annule jamais) : ramener le problème à une condition sur \(a\) et \(b\) seuls, puis compter les couples solutions et multiplier par les choix de \(c\).
1. \(a\odot a=2-\frac aa=1\) ; \(a\odot1=2-a\) ; \(1\odot a=2-\frac1a\) ; \(2\odot1=2-\frac21=0\) ; \(2\odot(3\odot3)=2\odot1=0\) (car \(3\odot3=1\)).
2. \(3\odot(2\odot1)\) donne MathErreur car \(2\odot1=0\), et on ne peut pas diviser par 0. Sans utiliser le 1 : par exemple \(3\odot(4\odot2)\) (et plus généralement \(a\odot(2b\odot b)\), puisque \(2b\odot b=2-\frac{2b}b=0\)).
3a. \(a\odot b=b\odot a\iff\frac ab=\frac ba\iff a^2=b^2\iff a=b\) (car \(a,b>0\)). Il n'existe donc pas de couple \(a\neq b\) : l'affirmation est fausse.
3b. Contre-exemple : \(2\odot(3\odot3)=2\odot1=0\), mais \((2\odot3)\odot3=\left(2-\frac23\right)\odot3=\frac43\odot3=2-\frac{4/3}3=2-\frac49=\frac{14}9\neq0\). L'affirmation est fausse.
4a. Minimal quand \(\frac ab\) est maximal, donc \(a=9,b=1\) : \(a\odot b=2-9=-7\). Un seul couple favorable sur \(9\times9=81\) : \(P=\dfrac1{81}\).
4b. Maximal quand \(\frac ab\) est minimal, donc \(a=1,b=9\) : \(a\odot b=2-\frac19=\frac{17}9\). \(P=\dfrac1{81}\).
4c. \(a\odot b=\frac53\iff\frac ab=2-\frac53=\frac13\iff b=3a\). Couples favorables : \((1,3),(2,6),(3,9)\). \(P=\dfrac3{81}=\dfrac1{27}\).
5a. \((a\odot b)\odot c\) est minimal quand \(\frac{a\odot b}c\) est maximal, donc quand \(a\odot b\) est maximal (\(\frac{17}9\), question 4b) et \(c\) minimal (\(c=1\)) : valeur \(=2-\frac{17}9=\frac19\). Un seul triplet favorable \((1,9,1)\) sur \(9^3=729\) : \(P=\dfrac1{729}\).
5b. \((a\odot b)\odot c\) est maximal quand \(\frac{a\odot b}c\) est minimal (le plus négatif), donc quand \(a\odot b=-7\) (question 4a) et \(c\) minimal (\(c=1\)) : valeur \(=2-(-7)=9\). Triplet \((9,1,1)\), \(P=\dfrac1{729}\).
5c. \((a\odot b)\odot c=2\iff a\odot b=0\iff a=2b\). Couples : \((2,1),(4,2),(6,3),(8,4)\) — soit 4 couples, chacun combiné aux 9 valeurs possibles de \(c\) : \(4\times9=36\) triplets favorables. \(P=\dfrac{36}{729}=\dfrac4{81}\).
Toutes les valeurs de cette correction (extremums, probabilités) ont été recalculées indépendamment et confirmées exactes.