Olympiades · Académique Nantes · 2012 · Série scientifique
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Nous sommes le 21-03-2012. Le but de l'exercice est de trouver un entier naturel \(M\) dont la racine carrée ait pour premières décimales, exactement dans l'ordre, les chiffres 21032012. Pour tout entier naturel \(m\), on note \(D(m)\) le nombre d'entiers strictement compris entre \(m^2\) et \((m+1)^2\).
1. Montrer que \(D(3)=6\), puis calculer \(D(m)\) pour tout entier \(m\).
2. Une première décimale. Pour tout entier \(n\), on note \(L_1(n)\) la liste des premières décimales de \(\sqrt n,\sqrt{n+1},\dots,\sqrt{n+9}\). Exemple : \(L_1(3)=(7;0;2;4;6;8;0;1;3;4)\).
| \(\sqrt3\approx1{,}7320\) | \(\sqrt4=2{,}0\) | \(\sqrt5\approx2{,}2360\) | \(\sqrt6\approx2{,}4494\) | \(\sqrt7\approx2{,}6457\) |
| \(\sqrt8\approx2{,}8284\) | \(\sqrt9=3{,}0\) | \(\sqrt{10}\approx3{,}1622\) | \(\sqrt{11}\approx3{,}3166\) | \(\sqrt{12}\approx3{,}4640\) |
a) Donner \(L_1(7)\). b) Soit \(m_1\) tel que \(D(m_1)=10\) et \(n=m_1^2+1\). Vérifier que \(L_1(n)=(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9)\).
3. Avec deux décimales. \(L_2(n)\) est la liste des deux premières décimales de \(\sqrt n,\dots,\sqrt{n+99}\). On cherche \(n\) tel que \(L_2(n)=(00;01;\dots;99)\). a) Montrer qu'un tel \(n\) ne peut appartenir à aucun des intervalles \([k^2,(k{+}1)^2]\) pour \(k=1,\dots,49\). b) Un encadrement intermédiaire est donné dans le sujet. c) Soit \(m_2\) tel que \(D(m_2)=100\) ; calculer \(n=m_2^2+1\) et vérifier \(L_2(n)=(00;\dots;99)\).
4. Donner \(M\) tel que les 4 premières décimales de \(\sqrt M\) soient 2012, celles de \(\sqrt{M{+}1}\) soient 2013, et celles de \(\sqrt{M{+}2}\) soient 2014.
5. Donner \(M\) tel que les 8 premières décimales de \(\sqrt M\) soient 21032012.
1. \((m+1)^2-m^2=2m+1\) entiers séparent (au sens large) \(m^2\) de \((m+1)^2\) ; en excluant les deux bornes elles-mêmes, il en reste \(2m\).
2b. Pour \(j=1,\dots,2m\), \(\sqrt{m^2+j}\approx m+\dfrac j{2m}\) (approximation affine). Si \(D(m_1)=10\), c'est-à-dire \(2m_1=10\), les dix valeurs \(j/(2m_1)=j/10\) balaient exactement \(0{,}1;\,0{,}2;\dots;0{,}9;1\) — ce qui explique pourquoi les premières décimales défilent dans l'ordre \(0,1,\dots,9\).
3c. Même idée avec \(2m_2=100\) : les cent valeurs \(j/100\) balaient \(0{,}01,\dots,0{,}99,1\), donnant les deux premières décimales dans l'ordre \(00,01,\dots,99\).
4, 5. Généraliser : avec \(2m=10^4\) (question 4) ou \(2m=10^8\) (question 5), on a \(m=5000\) ou \(m=5\times10^7\). Pour obtenir la décimale cible \(D\) (un nombre à 4 ou 8 chiffres), poser \(M=m^2+D\) : d'après l'approximation \(\sqrt{m^2+j}\approx m+\frac j{2m}\), le choix \(j=D\) donne précisément \(\frac D{2m}=0{,}D\) comme décimales recherchées. Un contrôle numérique précis (la valeur exacte de \(\sqrt{m^2+D}\) diffère légèrement de l'approximation affine) reste nécessaire pour confirmer que la troncature à 4 ou 8 décimales tombe bien sur la cible exacte, et pour la question 4 vérifier que cela fonctionne simultanément pour \(M\), \(M+1\) et \(M+2\).
Correction officielle APMEP.
1. \(D(3)=4^2-3^2-1=6\) (la liste des entiers strictement compris entre 9 et 16 est \(10,11,12,13,14,15\), qui contient 6 éléments). De façon générale, \(D(m)=(m+1)^2-m^2-1=2m\).
2a. \(L_1(7)=(6;8;0;1;3;4;6;7;8;0)\).
2b. \(D(m_1)=10\) d'où \(m_1=5\), \(n=5^2+1=26\) : \(\sqrt{26}\approx5{,}0990\ldots\), \(\sqrt{27}\approx5{,}1962\ldots\), …, \(\sqrt{35}\approx5{,}9161\ldots\) — les premières décimales sont bien \(0,1,2,\ldots,9\).
3a. Soit \(1\leqslant m\leqslant49\), d'où \(2\leqslant D(m)\leqslant98\). Les intervalles \([m^2,(m{+}1)^2]\) avec \(m\) entier \(<50\) contiennent moins de 100 entiers. Si \(n\) est un entier de l'un de ces intervalles et \(n\neq50^2\), il existe \(i\) entre 1 et 99 tel que \(n+i=(m+1)^2\) : les deux premières décimales de \(\sqrt{n+i}\) sont alors nulles, ce qui empêche \(L_2(n)\) de balayer \(00,\ldots,99\). Le cas \(n=50^2\) ne convient pas non plus (\(\sqrt n=50{,}00\) et \(\sqrt{n+1}\approx50{,}00\ldots\)).
3b. Si \(0\leqslant N<10^2\) : \(\left(\dfrac{10^2}2+\dfrac N{10^2}\right)^2=\left(\dfrac{10^2}2\right)^2+N+\left(\dfrac N{10^2}\right)^2\), donc \(\left(\dfrac{10^2}2+\dfrac N{10^2}\right)^2<\left(\dfrac{10^2}2\right)^2+N+1\) ; de même \(\left(\dfrac{10^2}2\right)^2+N+1<\left(\dfrac{10^2}2+\dfrac{N+1}{10^2}\right)^2\).
3c. \(D(m_2)=100\) donne \(m_2=50=\dfrac{10^2}2\) et \(n=2501=\left(\dfrac{10^2}2\right)^2+0+1\). On vérifie \(\dfrac{10^2}2<\sqrt n<\dfrac{10^2}2+\dfrac1{10^2}<\sqrt{n+1}<\dfrac{10^2}2+\dfrac2{10^2}<\cdots\) : les deux premières décimales défilent bien de \(00\) à \(99\).
4. En généralisant à quatre décimales, on veut \(N=2012\) : le nombre \(\left(\dfrac{10^4}2\right)^2+2012+1=25\,002\,013\) convient. En effet \(\sqrt{25\,002\,013}\approx5000{,}2012\ldots\), \(\sqrt{25\,002\,014}\approx5000{,}2013\ldots\), \(\sqrt{25\,002\,015}\approx5000{,}2014\ldots\)
5. En généralisant à huit décimales, on veut \(N=21\,032\,012\) : le nombre \(\left(\dfrac{10^8}2\right)^2+21\,032\,012+1=2\,500\,000\,021\,032\,013\) convient.