Exercice 4 — Nombres triangulaires et tétraédriques

Sujet

Partie A — Nombres triangulaires. En empilant des jetons en triangle, on définit les nombres triangulaires : \(t_1=1\), \(t_2=3\), etc. De façon générale, \(t_n=1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\).

1. Déterminer \(t_5,t_6,t_7\).

2. Que remarque-t-on en additionnant deux termes consécutifs \(t_n\) et \(t_{n+1}\) ? Démontrer ce résultat.

Partie B — Nombres tétraédriques. En empilant des boules identiques (chaque couche étant un nombre triangulaire de boules), on définit les nombres tétraédriques \(T_n=t_1+t_2+\dots+t_n\) (avec \(T_1=1\)). Exemple : \(T_2=t_1+t_2=4\), \(T_3=t_1+t_2+t_3=10\).

1. Calculer \(T_4\) et \(T_5\).

2. Soit \(N\) le plus petit entier tel que \(T_N\geq2012\). a) Déterminer \(N\) et \(T_N\) (un algorithme est valorisé). b) Le diamètre de chaque boule étant 1 dm, calculer la hauteur en mètres (arrondie au centième) de la pile formée par les \(T_N\) boules.

A2. Calculer \(t_n+t_{n+1}\) avec la formule \(t_n=\frac{n(n+1)}2\) : factoriser par \((n+1)\).

B2a. On peut montrer que \(T_n=\dfrac{n(n+1)(n+2)}6\) (somme des \(t_k\) pour \(k=1,\dots,n\)) ; \(T_n\) croît à peu près comme \(n^3/6\), ce qui donne une bonne estimation de départ pour encadrer \(N\) par dichotomie ou par un algorithme de recherche.

B2b. La pile de boules empilées en tétraèdre (chaque boule reposant dans le creux formé par trois boules de la couche du dessous) a une hauteur entre couches égale à \(d\sqrt{2/3}\) (\(d\)=diamètre d'une boule), plus un rayon en haut et en bas de la pile — un résultat classique d'empilement compact de sphères, à combiner avec le nombre de couches (lié à \(N\)).

Correction officielle APMEP.

Partie A

1. \(t_4=10\), \(t_5=15\), \(t_6=21\), \(t_7=28\).

2. \(t_n+t_{n+1}=(n+1)^2\) : en effet \(t_n+t_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{(n+1)(n+2)}2=\dfrac{(n+1)(n+n+2)}2=\dfrac{(n+1)\times2(n+1)}2=(n+1)^2\).

Partie B

1. \(T_4=T_3+t_4=10+10=20\) ; \(T_5=T_4+t_5=20+15=35\).

2a. Méthode 1 — recherche par essais successifs à partir du calcul des termes de la suite \((T_n)\) jusqu'à obtenir \(T_n\geqslant2012\) :

Variables : i, T, n entiers
Initialisation : T = 0
Traitement :
    Lire n
    Pour i allant de 1 à n
        T prend la valeur T + i(i+1)/2
    Fin Pour
Sortie : Afficher n, Afficher T

Méthode 2 — avec une condition d'arrêt intégrée (type Algobox) donnant directement le résultat :

n prend la valeur 0
Tant que T < 2012
    n prend la valeur n+1
    T prend la valeur 0
    Pour i allant de 1 à n
        T prend la valeur T + i*(i+1)/2
    Fin Pour
Fin Tant que
Afficher T, Afficher n

Méthode 3 — on déduit de la question A2 que \(t_1+t_2=2^2\), \(t_3+t_4=4^2\), \(t_5+t_6=6^2\), etc. D'où pour les indices pairs \(T_{2k}=(2\times1)^2+(2\times2)^2+\cdots+(2\times k)^2\), et pour les indices impairs \(T_{2k+1}=T_{2k}+\dfrac{(2k+1)(2k+2)}2=T_{2k}+(2k+1)(k+1)\).

On trouve finalement \(T_{22}=2024\) (avec \(T_{21}=1771<2012\)) : ce nombre correspond à un tétraèdre de 22 niveaux (\(N=22\)).

2b. L'écart entre deux niveaux correspond à la hauteur d'un tétraèdre régulier d'arête 1 dm. En notant \(O\) le pied de la hauteur issue du sommet \(A\) (centre de gravité de la base \(BCD\)) et \(I\) le milieu de \([CD]\) : le triangle \(BDI\) est rectangle en \(I\), donc \(BI=\sqrt{BD^2-DI^2}=\sqrt{\frac34}=\dfrac{\sqrt3}2\), puis \(BO=\dfrac23BI=\dfrac{\sqrt3}3\). Enfin (calculs en dm) \(AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}\).

Le tétraèdre ayant 22 étages, sa hauteur est formée de 21 écarts entre niveaux auxquels on ajoute deux fois le rayon d'une boule (soit un diamètre) : \(h=1+21\sqrt{\dfrac23}\).

La hauteur cherchée vaut environ 18,1 dm, soit environ 1,81 m.

Exercice 4 — Nombres triangulaires et tétraédriques (académique)

Sujet