Olympiades · Académique Nantes · 2012 · Série scientifique
Équations / FonctionsGéométrie plane
\(a\) et \(b\) sont deux réels strictement positifs. On appelle : moyenne arithmétique \(m=\dfrac{a+b}2\) ; moyenne géométrique \(g=\sqrt{ab}\) ; moyenne harmonique \(h=\dfrac2{\frac1a+\frac1b}\).
1. Calculer ces trois moyennes pour \(a=50\), \(b=18\).
2. Sur la figure 1, le demi-cercle \(\mathcal C\) a pour centre \(O\) ; \(A,B,C\) sont alignés avec \(O\), \(AB=a\), \(BC=b\). La perpendiculaire à \((AC)\) en \(B\) coupe \(\mathcal C\) en \(G\), et la perpendiculaire à \((OG)\) passant par \(B\) coupe \((OG)\) en \(H\). a) Montrer \(BG=g\) et \(GH=h\). b) En déduire le classement croissant de \(m\), \(g\), \(h\).
3. Construire à la règle et au compas un carré de même aire qu'un rectangle donné (figure 2, en annexe), en expliquant la construction.
4. Sur la figure 3 (figure 1 complétée par le rectangle \(OBGD\) et le demi-cercle de diamètre \([AE]\) passant par \(D\)), montrer que \(OE=h\).
2a. \(AB=a\), \(BC=b\) donc \(AC=a+b\) est un diamètre : le triangle \(AGC\) est rectangle en \(G\) (angle inscrit dans un demi-cercle). Utiliser la relation métrique du triangle rectangle (« théorème de la hauteur ») pour \(BG\) : dans un triangle rectangle, le carré de la hauteur issue de l'angle droit est le produit des deux segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse. Pour \(GH\), remarquer que le triangle \(OBG\) est rectangle en \(B\) et que \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(B\) dans ce triangle ; \(OG=m\) (rayon).
2b. Comparer les trois longueurs \(OG=m\) (rayon), \(BG=g\), \(GH=h\) directement sur la figure : \(H\), \(G\), \(B\) sont-ils alignés d'une façon qui impose un ordre entre les trois segments (inégalité triangulaire / trajet le plus court dans le triangle rectangle \(OBG\)) ?
3. Un carré de même aire qu'un rectangle de côtés \(a,b\) a pour côté \(\sqrt{ab}=g\) : c'est exactement la construction \(BG=g\) de la question 2, à reproduire aux instruments.
4. Le rectangle \(OBGD\) donne \(OD=BG=g\) et \(DG=OB=m\). Chercher une relation entre les triangles \(ODE\) (ou un triangle rectangle faisant intervenir \(D\)) similaire à celle utilisée en 2a pour obtenir \(GH=h\) — la même idée de « hauteur dans un triangle rectangle » s'applique.
Correction officielle APMEP.
1. Pour \(a=50\), \(b=18\) : \(m=34\) ; \(g=30\) ; \(h=\dfrac{450}{17}\).
2a. Avec le théorème de Pythagore : dans le triangle \(ABG\) rectangle en \(B\) : \(AB^2+BG^2=AG^2\) (1). Dans le triangle \(BCG\) rectangle en \(B\) : \(BG^2+BC^2=CG^2\) (2). Dans le triangle \(AGC\) rectangle en \(G\) (inscrit dans un demi-cercle) : \(AC^2=AG^2+CG^2\). En utilisant (1) et (2) : \(AC^2=AB^2+2BG^2+BC^2\). Or \(AC^2=(AB+BC)^2=AB^2+2AB\cdot BC+BC^2\). D'où \(BG^2=AB\cdot AC=ab=g^2\) : \(BG=g\).
Avec la trigonométrie : dans le triangle \(ACG\) rectangle en \(G\), \(\widehat A\) et \(\widehat C\) sont complémentaires ; dans le triangle \(ABG\) rectangle en \(B\), \(\widehat A\) et \(\widehat{AGB}\) sont complémentaires, donc \(\widehat{AGB}=\widehat C\) : \(\tan\widehat C=\dfrac{BG}{BC}\) et \(\tan\widehat{AGB}=\dfrac{AB}{BG}\), d'où \(BG^2=AB\cdot BC=ab=g^2\). Ensuite \(\widehat{BOG}\) et \(\widehat{GBH}\) ont le même complémentaire \(\widehat{OGB}\) : \(\sin\widehat{GBH}=\dfrac{GH}{BG}\) et \(\sin\widehat{BOG}=\dfrac{BG}{OG}\), d'où \(GH=\dfrac{BG^2}{OG}=\dfrac{2ab}{a+b}=h\).
2b. Le rayon \(OG\) vaut \(m\). Dans le triangle rectangle \(OBG\), l'hypoténuse \(OG\) est le côté le plus long, et \(GH\) (hauteur) est inférieure au côté \(GB\) : on a donc \(GH\leqslant GB\leqslant OG\), soit \(h\leqslant g\leqslant m\).
3. On construit le demi-cercle de diamètre \(AB+BC\), puis le point \(G\) (intersection avec la perpendiculaire à \((AC)\) en \(B\)), puis le carré de côté \(BG\).
4. Méthode 1 : dans le triangle rectangle, \(OD^2=OE\times OA\). Comme \(OD^2=BG^2\) (rectangle \(OBGD\)), \(OE=\dfrac{g^2}{m}=h\).
Méthode 2 : d'une part \(OD=BG=g\). D'autre part, en considérant le cercle de diamètre \([AE]\) et en posant \(a'=AO\), \(b'=OE\), on retrouve la configuration de la question 2 (la perpendiculaire à \((AE)\) coupe ce nouveau cercle en \(D\)), d'où \(OD=\sqrt{a'b'}\). Comme \(a'b'=ab\), on a \(m\times OE=g^2\), donc \(OE=\dfrac{g^2}{m}=h\).