Olympiades · Académique Nantes · 2012 · Série non scientifique
Équations / FonctionsGéométrie plane
\(a\) et \(b\) sont deux réels strictement positifs. On appelle : moyenne arithmétique \(m=\dfrac{a+b}2\) ; moyenne géométrique \(g=\sqrt{ab}\) ; moyenne harmonique \(h=\dfrac2{\frac1a+\frac1b}\).
1a. Calculer ces trois moyennes pour \(a=50\), \(b=18\). 1b. On sait que \(h=16\) et \(g=20\). Calculer \(m\), \(a\) et \(b\) (avec \(a 2a. Montrer que \(h=\dfrac{g^2}m\). 2b. Pour \(k>0\), déterminer les moyennes \(m',g',h'\) de \(ka\) et \(kb\) en fonction de \(m,g,h\). 3. On prend \(a=10\) et \(b\) entier \(>10\). a) Montrer \(g^2=\dfrac{100h}{20-h}\). b) Trouver toutes les valeurs de \(b\) pour lesquelles \(m,g,h\) sont des entiers positifs. 4. Sur la figure, le demi-cercle \(\mathcal C\) a pour centre \(O\) ; \(A,B,C\) sont alignés avec \(O\), \(AB=a\), \(BC=b\). La perpendiculaire à \((AC)\) en \(B\) coupe \(\mathcal C\) en \(G\), et la perpendiculaire à \((OG)\) passant par \(B\) coupe \((OG)\) en \(H\). a) Montrer \(BG=g\) et \(GH=h\). b) En déduire le classement croissant de \(m,g,h\). 1b. Utiliser la relation \(g^2=mh\) (question 2a) pour trouver \(m\), puis résoudre le système \(a+b=2m\), \(ab=g^2\) (racines d'un polynôme du second degré). 2a. Développer \(mh=\dfrac{a+b}2\times\dfrac{2ab}{a+b}\). 3a. Avec \(a=10\) : \(g^2=10b\) et \(h=\dfrac{20b}{10+b}\). Exprimer \(b\) en fonction de \(h\) à partir de cette dernière relation, puis substituer dans \(g^2=10b\). 3b. Pour que \(g=\sqrt{10b}\) soit entier, il faut que \(10b\) soit un carré parfait, donc que \(b\) soit de la forme \(10j^2\). Substituer dans l'expression de \(h\) obtenue en 3a et chercher pour quelles valeurs de \(j\) le résultat est entier (utiliser que \(j^2\) et \(1+j^2\) sont premiers entre eux). 4a. \(AC=a+b\) est un diamètre, donc le triangle \(AGC\) est rectangle en \(G\) : utiliser la relation métrique du triangle rectangle pour \(BG\), puis le triangle rectangle \(OBG\) (avec \(H\) pied de la hauteur issue de \(B\)) pour \(GH\). Correction officielle APMEP. 1a. Pour \(a=50\), \(b=18\) : \(m=34\) ; \(g=30\) ; \(h=\dfrac{450}{17}\). 1b. \(\dfrac2{16}=\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{2m}{g^2}\), d'où \(m=\dfrac{400}{16}=25\). Alors \(a+b=50\) et \(ab=400\), soit \(a(50-a)-400=0\) : \(a^2-50a+400=0\), qui donne (avec \(a>0\), \(a 2a. \(\dfrac2h=\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{2m}{g^2}\), d'où \(h=\dfrac{g^2}m\). 2b. \(m'=\dfrac12(ka+kb)=k\dfrac{a+b}2=km\) ; \(g'=\sqrt{(ka)(kb)}=k\sqrt{ab}=kg\) ; \(\dfrac2{h'}=\dfrac1{ka}+\dfrac1{kb}=\dfrac1k\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)=\dfrac1k\times\dfrac2h\), donc \(h'=kh\). 3a. Avec \(a=10\) : \(h=\dfrac{ab}m\) où \(g^2=ab=10b\) et \(m=\dfrac{10+b}2\), d'où \(h=\dfrac{20b}{10+b}\), donc \(20-h=\dfrac{200}{b+10}\) ; on obtient \(\dfrac{100h}{20-h}=10b=g^2\). 3b. On cherche des carrés divisibles par 10 pour \(h\) variant de 1 à 19. On obtient \(h=10\), \(h=16\) ou \(h=18\), donnant respectivement \(g^2=100\), \(g^2=400\) ou \(g^2=900\), soit \(b=10\) (que l'on élimine, car \(b>10\) est exigé), \(b=40\) ou \(b=90\). 4a. Avec le théorème de Pythagore : dans le triangle \(ABG\) rectangle en \(B\) : \(AB^2+BG^2=AG^2\) ; dans le triangle \(BCG\) rectangle en \(B\) : \(BG^2+BC^2=CG^2\) ; dans le triangle \(AGC\) rectangle en \(G\) (inscrit dans un demi-cercle) : \(AC^2=AG^2+CG^2\). En combinant, \(AC^2=AB^2+2BG^2+BC^2\), et comme \(AC^2=(AB+BC)^2=AB^2+2AB\cdot BC+BC^2\), on a \(BG^2=AB\cdot AC=ab\) : \(BG=g\). Pour \(GH=h\) : \(GH^2=GB^2-HB^2=GB^2-(OB^2-OH^2)=GB^2-OB^2+(OG-GH)^2\), donc \(2\,OG\times GH=GB^2-OB^2+OG^2\). En posant \(OG=\dfrac{a+b}2\) et \(OB=\dfrac{a-b}2\) (ou \(\dfrac{b-a}2\)), on obtient \(2\times\dfrac{a+b}2\times GH=ab-\left(\dfrac{a-b}2\right)^2+\left(\dfrac{a+b}2\right)^2=2ab\), soit \(GH=\dfrac{2ab}{a+b}=h\). 4b. Le rayon \(OG\) vaut \(m\) : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est le côté le plus long, on a donc \(GH\leqslant GB\leqslant OG\), soit \(h\leqslant g\leqslant m\).