Olympiades · Académique Nantes · 2011 · Séries scientifiques
ArithmétiqueDénombrement
\(ABC\) est un triangle équilatéral dont le cercle circonscrit \(\Gamma_1\), de centre \(O\), a pour rayon 1. On appelle corde de \(\Gamma_1\) tout segment dont les extrémités sont deux points de \(\Gamma_1\). Le but est de comparer différentes façons de calculer la probabilité qu'une corde tracée « au hasard » ait une longueur supérieure ou égale à \(BC\).
1. Déterminer la longueur \(BC\).
2. Longueur d'une corde. a) Montrer que pour tout point \(M\neq O\) intérieur à \(\Gamma_1\), il existe une unique corde de \(\Gamma_1\) ayant \(M\) pour milieu. b) Soit \(\Gamma_2\) le cercle inscrit dans \(ABC\). Avec \(M_1\) sur \(\Gamma_2\), \(M_2\) à l'intérieur de \(\Gamma_2\) et \(M_3\) à l'extérieur de \(\Gamma_2\) (mais dans \(\Gamma_1\)), comparer la longueur de chacune des trois cordes de milieux \(M_1,M_2,M_3\) à \(BC\). c) On choisit au hasard un point \(M\) distinct de \(O\), à l'intérieur de \(\Gamma_1\) : quelle est la probabilité que la corde de milieu \(M\) ait une longueur \(\geq BC\) ?
3. Cordes et un premier algorithme. Soit \(D\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\). On considère l'algorithme suivant : pour \(i\) de 1 à \(n\), on place \(M_i\) sur \([AD]\) tel que \(\overrightarrow{AM_i}=\frac in\overrightarrow{AD}\), on trace la corde \([N_iP_i]\) passant par \(M_i\) et perpendiculaire à \((AD)\), et si \(N_iP_i\geq BC\) alors \(k\) est incrémenté ; à la fin, on affiche \(k/n\). a) Que renvoie l'algorithme pour \(n=10\) ? b) Pour \(n=100\), \(1000\), \(1\,000\,000\) ? c) On choisit \(M\) au hasard sur \([AD]\) et on trace la corde de milieu \(M\) perpendiculaire à \((AD)\) : quelle est la probabilité \(p\) que cette corde ait une longueur \(\geq BC\) ?
4. Cordes et un second algorithme. \((AT)\) est tangente à \(\Gamma_1\) en \(A\). Pour \(i\) de 1 à 99, on place \(M_i\) sur \(\Gamma_1\) tel que \(\widehat{TAM_i}=\frac i{100}\times180°\), on calcule \(AM_i\), et si \(AM_i\geq BC\) alors \(k\) est incrémenté ; on affiche \(k/99\). a) Que renvoie l'algorithme ? b) On choisit \(M\) au hasard sur \(\Gamma_1\) : quelle est la probabilité que \(AM\geq BC\) ?
5. Conclusion. Peut-on définir la probabilité de choisir, parmi toutes les cordes d'un cercle, une corde de longueur supérieure ou égale à celle du côté du triangle équilatéral inscrit ?
1. Le triangle \(OBC\) est isocèle en \(O\) avec un angle au centre de 120° ; couper en deux par le pied de la hauteur issue de \(O\).
2b, 2c. Le rayon du cercle inscrit \(\Gamma_2\) d'un triangle équilatéral de circonrayon \(R\) vaut \(R/2\). Utiliser la relation de Pythagore dans le triangle rectangle formé par \(O\), le milieu \(M\) de la corde et une extrémité de la corde : \(\text{(demi-corde)}^2=R^2-OM^2\). La probabilité en 2c se calcule comme un rapport d'aires de disques.
3. La condition « corde \(\geq BC\) » revient, via 2b-2c, à « milieu à l'intérieur ou sur \(\Gamma_2\) », c'est-à-dire à une distance \(\leq R/2\) du centre — traduire cette condition sur le segment \([AD]\) (un diamètre) en une condition sur \(AM_i\).
4. Utiliser le théorème de l'angle tangente-corde (l'angle entre la tangente et une corde égale la moitié de l'arc intercepté) pour relier \(\widehat{TAM}\) à la position de \(M\) sur le cercle par rapport à \(B\) et \(C\).
5. Comparer les trois probabilités obtenues (aires en 2c, longueur sur un diamètre en 3c, angle sur le cercle en 4b) : ce sont les trois réponses classiques du paradoxe de Bertrand.
1. Soit \(H\) le pied de la hauteur issue de \(O\) dans le triangle isocèle \(OBC\) (angle au centre \(\widehat{BOC}=120°\), donc \(\widehat{BOH}=60°\)). Dans le triangle rectangle \(OHB\) : \(\cos30°=\frac{BH}{OB}=BH\) (angle en \(B\) valant \(30°\)), donc \(BH=\frac{\sqrt3}2\) et \(BC=2BH=\boxed{\sqrt3}\).
2a. La corde de milieu \(M\) est l'unique corde perpendiculaire à \((OM)\) passant par \(M\) (propriété classique : la perpendiculaire à une corde depuis le centre passe par son milieu, et réciproquement cette perpendiculaire est unique).
2b. Pour un triangle équilatéral de circonrayon \(R=1\), le rayon du cercle inscrit \(\Gamma_2\) vaut \(R/2=\frac12\) (résultat classique). Dans un triangle rectangle \(OM_iP_i\) (avec \(P_i\) extrémité de la corde) : \(P_iM_i^2=OP_i^2-OM_i^2=1-OM_i^2\).
Pour \(M_1\in\Gamma_2\) : \(OM_1^2=\frac14\), donc \(P_1M_1^2=1-\frac14=\frac34\), et la corde \(N_1P_1=2P_1M_1=2\times\frac{\sqrt3}2=\sqrt3=BC\).
Pour \(M_2\) intérieur à \(\Gamma_2\) : \(OM_2^2<\frac14\), donc \(P_2M_2^2>\frac34\), et \(N_2P_2=2P_2M_2>BC\).
Pour \(M_3\) extérieur à \(\Gamma_2\) : \(OM_3^2>\frac14\), donc \(P_3M_3^2<\frac34\), et \(N_3P_3=2P_3M_3 2c. La corde a une longueur \(\geq BC\) si et seulement si son milieu \(M\) est à l'intérieur ou sur \(\Gamma_2\) (rayon \(\frac12\)). En choisissant \(M\) uniformément dans le disque \(\Gamma_1\) (rayon 1) : \[p=\frac{\text{Aire}(\Gamma_2)}{\text{Aire}(\Gamma_1)}=\frac{\pi\times(1/2)^2}{\pi\times1^2}=\boxed{\frac14}.\] 3a. \(AD=2\) (diamètre). La condition \(N_iP_i\geq BC\) équivaut à \(OM_i\leq\frac12\), c'est-à-dire \(M_i\in[GH]\) où \(G,H\) sont les points de \([AD]\) à distance \(\frac12\) de \(O\) (soit \(AG=\frac12\), \(AH=\frac32\), car \(O\) est le milieu de \(AD\)). Avec \(n=10\) : \(AM_i=\frac i{10}\times2=\frac i5\) ; la condition \(\frac12\leq\frac i5\leq\frac32\) donne \(2{,}5\leq i\leq7{,}5\), soit \(i\in\{3,4,5,6,7\}\) : \(k=5\). Résultat affiché : 0,5. 3b. Même condition \(\frac12\leq AM_i\leq\frac32\) avec \(AM_i=\frac{2i}n\) : \(n=100\) : \(25\leq i\leq75\), \(k=51\) → 0,51. 3c. \(p=\dfrac{GH}{AD}=\dfrac{AH-AG}{AD}=\dfrac{3/2-1/2}2=\boxed{\frac12}.\) 4a. Par le théorème de l'angle tangente-corde, \(AM\geq BC\iff M\) appartient à l'arc \(BC\) ne contenant pas \(A\), ce qui correspond à \(60°\leq\widehat{TAM}\leq120°\) (les côtés \(AB\) et \(AC\) du triangle équilatéral correspondant aux angles tangente-corde de 60° et 120°). Avec \(\widehat{TAM_i}=\frac i{100}\times180°\) : \(60\leq\frac{180i}{100}\leq120\iff\frac{100}3\leq i\leq\frac{200}3\iff34\leq i\leq66\), soit \(k=33\). Résultat affiché : \(33/99=0,33\) (soit \(\frac13\)). 4b. \(p=\dfrac{120°-60°}{180°}=\dfrac{60}{180}=\boxed{\frac13}.\) 5. Les trois méthodes de tirage « au hasard » d'une corde — milieu uniforme dans le disque (\(p=\frac14\)), milieu uniforme sur un diamètre fixé (\(p=\frac12\)), extrémité uniforme sur le cercle à partir d'un point fixé (\(p=\frac13\)) — donnent trois probabilités différentes, toutes parfaitement légitimes. Il n'existe donc pas de définition unique et universelle de « choisir une corde au hasard » : la réponse dépend du protocole de tirage choisi. C'est le célèbre paradoxe de Bertrand (1889).
\(n=1000\) : \(250\leq i\leq750\), \(k=501\) → 0,501.
\(n=1\,000\,000\) : \(250\,000\leq i\leq750\,000\), \(k=500\,001\) → 0,500001.