Olympiades · Académique Nantes · 2011 · Séries non scientifiques
ArithmétiqueDénombrement
Soit \(c\geq3\) un entier. Une grille \(c\times c\) (\(c^2\) cases) est recouverte de carreaux noirs ou blancs selon les règles :
On distingue trois positions pour un carreau noir : en coin (4 cases occupées au total : lui-même + 3 voisines), en bordure hors coin (6 cases : lui-même + 5 voisines), immergé à l'intérieur de la grille (9 cases : lui-même + 8 voisines).
1. Sur une grille \(5\times5\), trois figures sont proposées (une entièrement noire, une respectant toutes les règles, une où un carreau blanc touche deux carreaux noirs). Indiquer pour chacune si elle respecte les règles, et sinon laquelle est violée.
2. Sur une grille \(3\times3\) : représenter toutes les dispositions possibles.
3. Sur une grille \(7\times7\) : on note \(n\), \(p\), \(q\) respectivement le nombre de carreaux noirs en coin, en bordure, immergés. a) Justifier \(4n+6p+9q=49\). b) Montrer que \(n=0\), \(n=2\) et \(n=3\) sont impossibles. c) En déduire les triplets \((n;p;q)\) solutions. d) Montrer qu'un seul triplet permet de résoudre le problème, et illustrer par une figure.
3a. La règle \(R_3\) assigne à chaque carreau blanc un unique carreau noir « voisin » : chaque noir « possède » donc exclusivement lui-même et ses cases adjacentes, ce qui partitionne exactement les 49 cases de la grille. Compter le nombre de voisins d'une case de grille selon sa position (coin : 3 voisins, bordure : 5, intérieur : 8).
3b. Comme \(6p+9q\) est toujours multiple de 3, il faut que \(49-4n\) le soit aussi : réduire \(49-4n\) modulo 3 pour chaque valeur de \(n\) de 0 à 4 (il y a au plus 4 coins).
3d. Une fois un carreau noir placé (coin ou bordure), les blancs qu'il « couvre » forment une zone déterminée ; les carreaux noirs restants doivent alors se placer en blocs de longueur 2 (bordure) ou 3 (immergé) le long des bords restants — comparer ces longueurs à 7 (qui n'est multiple ni de 2 seul, ni adapté à certaines décompositions).
1. Figure toute noire : deux carreaux noirs adjacents, règle \(R_2\) violée. Figure avec un carreau blanc entouré de deux noirs : règle \(R_3\) violée. La figure restante respecte les trois règles : disposition valide.
2. Sur une grille \(3\times3\), la seule disposition possible est un unique carreau noir au centre : il est alors en contact avec les 8 cases blanches environnantes (chacune touche exactement ce noir, \(R_3\) ✓), et \(R_2\) est trivialement respecté (un seul noir).
3a. Chaque carreau noir « possède » lui-même ainsi que les cases blanches qui lui sont exclusivement associées par \(R_3\) (chaque blanc touche un et un seul noir) : un coin possède 4 cases (lui + 3 voisines), une bordure 6 cases (lui + 5 voisines), un immergé 9 cases (lui + 8 voisines). Ces groupes de cases partitionnent exactement les 49 cases de la grille \(7\times7\) : \(4n+6p+9q=49\).
3b. \(n\) est un entier entre 0 et 4 (au plus 4 coins). Comme \(6p+9q\) est multiple de 3, il faut \(49-4n\equiv0\pmod3\), donc \(n\equiv1\pmod3\) (\(49\equiv1\), \(4\equiv1\pmod3\)) : seuls \(n=1\) et \(n=4\) conviennent.
3c. Si \(n=1\) : \(6p+9q=45\iff2p+3q=15\), solutions entières positives : \((p;q)\in\{(0;5),(6;1),(3;3)\}\). Si \(n=4\) : \(6p+9q=33\iff2p+3q=11\), solutions : \((p;q)\in\{(1;3),(4;1)\}\).
Triplets possibles : \((1;0;5)\), \((1;6;1)\), \((1;3;3)\), \((4;1;3)\), \((4;4;1)\).
3d. Dans les cas \((1;0;5)\), \((1;6;1)\), \((1;3;3)\) et \((4;1;3)\), une fois les carreaux « en coin » (et éventuellement une bordure) placés, les carreaux noirs restants doivent former des blocs de longueur 2 (bordures) ou 3 (immergés) le long d'un bord de longueur 7 ; comme aucune décomposition de 7 par ces longueurs ne s'ajuste à la configuration imposée (7 n'étant pas multiple de 3, et la décomposition en blocs de longueur 2 laissant toujours un reste incompatible), chacune de ces quatre configurations est géométriquement impossible à réaliser.
Seul le triplet \((n;p;q)=(4;4;1)\) admet une réalisation effective : les 4 coins sont noirs, 4 carreaux noirs en bordure (au milieu de chaque côté) et 1 carreau noir immergé au centre — une unique figure possible.