Olympiades · Académique Nantes · 2011 · Séries scientifiques
NumérationDénombrement
Pour \(N\) entier naturel dont l'écriture comporte au moins \(n\) chiffres, on appelle terminaison à \(n\) chiffres de \(N\) le nombre formé par les \(n\) derniers chiffres de \(N\) (exemple : 52 est la terminaison à 2 chiffres de 35 752). On étudie les cas où \(N\) et \(N^2\) ont la même terminaison.
1. Quels sont les entiers naturels égaux à leur propre carré ?
2. Terminaison à un chiffre : si \(N\) et \(N^2\) ont la même terminaison à un chiffre, quelles sont les valeurs possibles de ce chiffre ?
3. Terminaison à deux chiffres (\(N\) à au moins deux chiffres). a) Montrer que si deux nombres ont 25 pour terminaison à deux chiffres, leur produit aussi. b) Si \(N\) et \(N^2\) ont la même terminaison à deux chiffres, trouver toutes les valeurs possibles de cette terminaison.
4. Terminaison à trois chiffres (\(N\) à au moins trois chiffres). a) Pour \(k\leq9\), déterminer \(k\) tel que \(100k+25\) et \((100k+25)^2\) aient la même terminaison à trois chiffres. b) Donner un exemple de \(N\) à quatre chiffres tel que \(N\) et \(N^2\) aient la même terminaison à trois chiffres. c) Trouver toutes les terminaisons à trois chiffres possibles pour \(N\).
5. Trouver une terminaison à cinq chiffres de \(N\), autre que 00000 et 00001, telle que \(N\) et \(N^2\) aient la même terminaison à cinq chiffres.
6. Pour aller plus loin. Trouver toutes les terminaisons à trois chiffres telles que \(N\) et son cube \(N^3\) aient la même terminaison à trois chiffres.
3b, 4c. Écrire \(N=100a+b\) (ou \(10a+b\)), développer \(N^2-N\) : le terme en \(a\) est toujours multiple de 100 (ou 10), donc tout revient à étudier \(b^2-b=b(b-1)\) modulo 100 (ou 10) — deux nombres consécutifs, donc premiers entre eux : il faut répartir les facteurs \(4\) et \(25\) entre \(b\) et \(b-1\).
4a. Attention : la question ne demande pas la terminaison de \((100k+25)^2\) seule (qui vaut toujours 625, indépendamment de \(k\)), mais de trouver \(k\) pour que cette terminaison coïncide avec celle de \(N=100k+25\) lui-même (qui est « \(k25\) »).
6. Les terminaisons déjà trouvées pour \(N^2=N\) (000, 001, 625, 376) fonctionnent automatiquement pour le cube (\(N^3=N\times N^2\equiv N\times N=N^2\equiv N\)). Chercher les autres par un raisonnement analogue à la question 4, modulo 1000.
1. \(x=x^2\iff x(x-1)=0\iff x=0\) ou \(x=1\).
2. En testant les chiffres de 0 à 9 (\(0^2\!=\!0\), \(1^2\!=\!1\), \(2^2\!=\!4\), \(3^2\!=\!9\), \(4^2\!=\!16\), \(5^2\!=\!25\), \(6^2\!=\!36\), \(7^2\!=\!49\), \(8^2\!=\!64\), \(9^2\!=\!81\)) : seuls 0, 1, 5, 6 ont un carré finissant par le même chiffre.
3a. Pour \(100a+25\) et \(100b+25\) : \((100a{+}25)(100b{+}25)=10\,000ab+2500a+2500b+625=100(100ab+25a+25b+6)+25\), qui finit bien par 25.
3b. Avec \(N=100a+b\) (\(b\) à deux chiffres) : \(N^2-N=100(100a^2+2ab-a)+b^2-b\). Pour que \(N\) et \(N^2\) partagent leur terminaison à deux chiffres, il faut \(100\mid b(b-1)=b(b-1)\), c'est-à-dire \(b(b-1)\) multiple de \(4\times25\). Comme \(b\) et \(b-1\) sont premiers entre eux, on cherche les répartitions des facteurs 4 et 25 : \(b=00,\,01,\,25,\,76\) (\(25\times24=600\), \(76\times75=5700\), tous deux multiples de 100).
4a. \((100k+25)^2=10\,000k^2+5000k+625=1000(10k^2+5k)+625\) : le carré finit toujours par 625, quel que soit \(k\). Pour que \(N=100k+25\) (de terminaison « \(k25\) ») partage cette terminaison, il faut \(k25=625\), donc \(k=6\).
4b. Par exemple \(N=4625\) : \(4625^2=21\,390\,625\), qui finit bien par 625 comme \(N\).
4c. Les terminaisons à deux chiffres possibles (question 3b) donnent, à trois chiffres, les candidats \(k00\), \(k01\), \(k25\), \(k76\). Le cas \(k00\) donne trivialement 000. Pour \(k25\) : seul \(k=6\) convient (625, ci-dessus). Pour \(k01\) : \((100k+1)^2=10\,000k^2+200k+1=1000(10k^2)+100(2k)+1\) ; il faut que le chiffre des centaines, unité de \(2k\), égale \(k\) : seul \(k=0\) convient (terminaison 001). Pour \(k76\) : \((100k+76)^2=1000(10k^2{+}15k{+}5)+100(2k{+}7)+76\) ; il faut que l'unité de \(2k+7\) égale \(k\) : en testant \(k=0\) à 9, seul \(k=3\) convient (terminaison 376).
Terminaisons à trois chiffres possibles : 000, 001, 625, 376.
5. Par exemple 90625 ou 09376 (prolongements des terminaisons précédentes). Ce sont les débuts des deux suites infinies « décadiques » …8212890625 et …1787109376.
6. Les terminaisons déjà trouvées (000, 001, 625, 376) fonctionnent automatiquement pour le cube. Un raisonnement analogue modulo 1000 donne au total quinze terminaisons possibles :
000, 001, 501, 251, 751, 624, 125, 625, 375, 875, 376, 249, 749, 499, 999.