Exercice 3 — Les nombres sympathiques (académique)

2c. Pour trois chiffres distincts \(a,b,c\) (\(a\geq1\)), encadrer \(a+b+c\) et ne garder que les multiples de 9 dans cet intervalle. Un multiple de 9 n'est pas forcément multiple de 18 : chercher un contre-exemple à trois chiffres, multiple de 9, dont la somme des chiffres vaut 18.

3d, 3e, 3f. La somme des chiffres disponibles est fixée par l'énoncé (10, 15 ou 45) : en déduire directement une condition de divisibilité nécessaire sur le chiffre des unités.

4. Écrire \(N=100a+10b+c=(a+b+c)+9(11a+b)\) (identité valable pour tous chiffres \(a,b,c\)) : le quotient cherché vaut \(1+\dfrac{9(11a+b)}{a+b+c}\). Pour le maximiser, réfléchir d'abord au chiffre \(c\) le plus favorable (il n'apparaît qu'au dénominateur), puis à \(b\), puis à \(a\).

1. En vérifiant chaque nombre du tableau (chiffres distincts et divisibilité par leur somme) : les nombres sympathiques sont 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30.

2a. 102 est le plus petit nombre sympathique à trois chiffres (100 et 101 ont des chiffres répétés) et 972 le plus grand (\(9{+}7{+}2=18\), \(972/18=54\) ; aucun nombre entre 973 et 999 à chiffres distincts n'est multiple de sa somme de chiffres).

2b. Si \(N=\overline{abc}\) sympathique avec \(a+b+c=6\), alors \(N\) est multiple de 6, donc pair, donc \(c\) pair. Les seules décompositions de 6 en trois chiffres distincts sont \(0{+}1{+}5\), \(0{+}2{+}4\), \(1{+}2{+}3\). Les nombres sympathiques à trois chiffres de somme 6 sont : 132, 150, 204, 240, 312, 402, 420, 510.

2c. Pour \(N=\overline{abc}\) à chiffres distincts (\(1\leq a\leq9\)) : \(3\leq a+b+c\leq24\), donc les seuls multiples de 9 possibles sont 9 ou 18. Tout nombre de somme de chiffres 9 est automatiquement multiple de 9, donc sympathique. En revanche, un nombre de somme 18 n'est pas forcément sympathique : par exemple 189 (\(1{+}8{+}9=18\)) est multiple de 9 mais \(189/18=10{,}5\), non entier — il n'est donc pas sympathique.

3d. Avec les chiffres 1, 2, 3, 4 : la somme vaut \(1{+}2{+}3{+}4=10\), donc le nombre devrait être multiple de 10 et se terminer par 0 — impossible avec ces quatre chiffres. Aucun nombre sympathique de ce type n'existe.

3e. Avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5 : la somme vaut 15, donc le nombre doit se terminer par 5 (multiple de 5) ; il est alors automatiquement multiple de 3 (somme 15 divisible par 3) donc de 15. Par exemple 12345 est sympathique (\(12345/15=823\)).

3f. Avec les dix chiffres 0 à 9 : la somme vaut 45, toujours multiple de 9. En choisissant 0 ou 5 comme chiffre des unités, le nombre est aussi multiple de 5, donc de \(45=9\times5\). Par exemple 1234567890 est sympathique.

4. Avec \(N=\overline{abc}=100a+10b+c\), l'identité \(N=(a+b+c)+9(11a+b)\) donne :

\[\frac N{a+b+c}=1+\frac{9(11a+b)}{a+b+c}.\]

Le numérateur \(11a+b\) ne dépend pas de \(c\) : pour le maximiser, il faut minimiser le dénominateur, donc prendre \(c=0\). Le quotient devient \(1+\dfrac{9(11a+b)}{a+b}\) ; comme \(\dfrac{11a+b}{a+b}=11-\dfrac{10a}{a+b}\)... plus directement, à \(a\) fixé cette fraction est décroissante en \(b\) (dérivée en \(b\) de signe \(-10a<0\)), donc on prend le plus petit \(b\) possible distinct de \(a\) et de \(c=0\), soit \(b=1\). Il reste \(1+\dfrac{9(11a+1)}{a+1}\), croissante en \(a\) (car \(\frac{11a+1}{a+1}=11-\frac{10}{a+1}\), croissante), maximale pour \(a=9\) (le plus grand chiffre distinct de \(b=1\) et \(c=0\)).

On obtient \(N=910\) (\(9{+}1{+}0=10\), sympathique car \(910/10=91\)) : le plus grand quotient est 91.