Exercice 2 — Le singe sauteur (exercice national)

2. Après le premier bond, le singe est forcément en 1 (un bond de −1 sortirait de \([0;5]\)) ; ce raisonnement « le singe n'a pas le choix » se répète à chaque étape — suivre la chaîne forcée jusqu'au bout.

4. Chercher une construction générale : partir de \(1+2+\dots+n\) (tous positifs), puis compléter par une suite de « paires » de signes \(-\,+\) consécutives (par exemple \(-(n{+}1)+(n{+}2)\)) qui rapportent chacune exactement 1 à la somme, jusqu'à atteindre \(n^2\).

5a. Le premier bond est forcément \(+1\). Écrire la condition « la position juste avant le dernier bond \(n\) doit être 0 » comme une somme signée \(1+2a_2+\dots+(n{-}1)a_{n-1}=0\) avec \(a_i=\pm1\), puis séparer les termes positifs et négatifs de cette somme.

6. Repérer dans la séquence qui atteint \(N\) la première fois où un signe \(+\) est suivi d'un signe \(-\) à des positions consécutives \(i,\,i{+}1\) ; inverser ces deux signes (\(+i,-(i{+}1)\to-i,+(i{+}1)\)) fait gagner exactement 2 sur la somme finale, sans jamais sortir de l'intervalle. Compléter ensuite par les 4 bonds supplémentaires \(-(N{+}1)+(N{+}2)-(N{+}3)+(N{+}4)\), qui rapportent 2 de plus.

1. \(1+2-3+4=4\), avec sommes partielles \(1,3,0,4\) — toutes dans \([0,4]\) : 4 est atteignable. C'est la seule façon : il faut que les termes de signe négatif somment à \((1{+}2{+}3{+}4-4)/2=3\), donc soit \(\{3\}\) seul, soit \(\{1,2\}\) ; or commencer par \(-1\) sort immédiatement de \([0,4]\), donc seule la solution \(\{3\}\) négatif convient.

2. Le premier bond doit être \(+1\) (sinon sortie immédiate), position 1. Le deuxième doit être \(+2\) (sinon \(1-2=-1\)), position 3. Le troisième doit être \(-3\) (sinon \(3+3=6>5\)), position 0. Le quatrième doit être \(+4\) (sinon \(0-4=-4\)), position 4. Le cinquième bond, \(\pm5\), donne \(4+5=9>5\) ou \(4-5=-1<0\) : dans tous les cas le singe sort de \([0,5]\). 5 n'est pas atteignable.

3. \(1+2+3-4+5-6+7-8+9=9\), sommes partielles \(1,3,6,2,7,1,8,0,9\), toutes dans \([0,9]\) : 9 est atteignable.

4. Pour \(n^2\) : partir de \(1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2\) (tous positifs), puis enchaîner les paires \(-(n{+}1)+(n{+}2),\ -(n{+}3)+(n{+}4),\ \dots,\ -(n^2{-}1)+n^2\) — il y a \(\frac{n^2-n}2\) telles paires, chacune ajoutant exactement 1. La somme finale est \(\frac{n(n+1)}2+\frac{n^2-n}2=\frac{2n^2}2=n^2\).

5a. Le premier bond vaut nécessairement \(+1\). Pour atteindre \(n\) au dernier bond, il faut être en position 0 juste avant (un bond \(+n\) depuis 0), soit \(1+2a_2+3a_3+\dots+(n{-}1)a_{n-1}=0\) avec \(a_i=\pm1\). En séparant les termes de signe \(+\) (somme \(S_+\)) et de signe \(-\) (somme \(S_-\)), cette égalité donne \(S_+=S_-\). Or \(S_++S_-=1+2+\dots+(n{-}1)=\frac{(n-1)n}2\), donc \(2S_+=\frac{n(n-1)}2\), soit \(n(n-1)=4S_+\) : \(n(n-1)\) est divisible par 4, ce qui impose \(n\equiv0\) ou \(1\pmod4\).

5b. La réciproque est fausse : \(5\equiv1\pmod4\) vérifie la condition nécessaire, mais 5 n'est pas atteignable (question 2). La condition n'est donc que nécessaire, pas suffisante.

6. Dans la séquence de signes atteignant \(N\) (qui commence par \(1{+}2{+}3\)), on repère la première paire consécutive de signes \(+i,-(i{+}1)\) et on l'inverse en \(-i,+(i{+}1)\) : cela ajoute exactement 2 à la somme finale (la contribution de la paire passe de \(i-(i{+}1)=-1\) à \(-i+(i{+}1)=+1\)), sans faire sortir le singe de l'intervalle. On complète ensuite la séquence par les quatre bonds \(-(N{+}1)+(N{+}2)-(N{+}3)+(N{+}4)\), dont la contribution nette est \(1+1=2\). Au total, la nouvelle séquence atteint \(N+2+2=N+4\).