Olympiades · Académique Nantes · 2010 · Séries S-SVT et S-SI
ArithmétiqueDénombrementSuitesGéométrie plane
Un polygone à \(n\) côtés est \(k\)-progressif (\(k\geqslant1\)) si ses côtés consécutifs \(a_1,\ldots,a_n\) vérifient \(\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\cdots=\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=k\) (suite géométrique de raison \(k\)).
1. Triangles. a) Qu'est-ce qu'un triangle 1-progressif ? b) Construire un triangle 1,5-progressif de plus petit côté 10 cm. c) Un triangle 1,7-progressif peut-il exister ? d) Pour quelles valeurs de \(k\) existe-t-il un triangle \(k\)-progressif ? e) Existe-t-il des triangles \(k\)-progressifs rectangles ?
2. Quadrilatères. a) Construire un quadrilatère 1,7-progressif. b) Un quadrilatère 1,9-progressif peut-il exister ? c) Quelle inégalité doit vérifier \(k\) ? d) Quelle est la plus petite valeur décimale (2 décimales) de \(k\) pour laquelle aucun quadrilatère \(k\)-progressif n'existe ?
3. Montrer que pour tout polygone \(k\)-progressif à \(n\) côtés, on a nécessairement \(k<2\).
Indication du sujet : pour \(k\neq1\), \(1+k+k^2+\cdots+k^{n-1}=\dfrac{k^n-1}{k-1}\).
1a. Un triangle 1-progressif a 3 côtés égaux : c'est un triangle équilatéral.
1b. Côtés : \(10\), \(10\times1{,}5=15\), \(15\times1{,}5=22{,}5\) cm. Inégalité triangulaire : \(10+15=25>22{,}5\) ✓ : le triangle est constructible.
1c. Avec le plus petit côté \(=1\) : côtés \(1\), \(1{,}7\), \(1{,}7^2=2{,}89\). Or \(1+1{,}7=2{,}7<2{,}89\) : l'inégalité triangulaire est violée, aucun triangle 1,7-progressif n'existe.
1d. Avec côtés \(1,k,k^2\) (\(k\geqslant1\), donc \(k^2\) est le plus grand côté), il faut \(1+k>k^2\), soit \(k^2-k-1<0\). Les racines de \(k^2-k-1=0\) sont \(\dfrac{1\pm\sqrt5}2\) ; la racine positive est le nombre d'or \(\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2\approx1{,}618\). Un triangle \(k\)-progressif existe donc pour \(1\leqslant k<\dfrac{1+\sqrt5}2\).
1e. Pour un triangle rectangle avec côtés \(1,k,k^2\) (hypoténuse \(k^2\), la plus grande) : Pythagore donne \(1^2+k^2=(k^2)^2\), soit \(k^4-k^2-1=0\). En posant \(u=k^2\) : \(u^2-u-1=0\), donc \(u=\dfrac{1+\sqrt5}2=\varphi\) (racine positive), soit \(k=\sqrt\varphi=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt5}2}\approx1{,}272\). Comme \(1\leqslant1{,}272<\varphi\approx1{,}618\), cette valeur est bien dans l'intervalle d'existence (1d) : oui, il existe un (unique) triangle \(k\)-progressif rectangle, pour \(k=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}2}\).
2a. Un quadrilatère 1,7-progressif a pour côtés \(1\), \(1{,}7\), \(2{,}89\), \(4{,}913\) (construction possible, voir figure du corrigé).
2b. Pour \(k=1{,}9\) : \(1+1{,}9+1{,}9^2=1+1{,}9+3{,}61=6{,}51\), et \(k^3=1{,}9^3=6{,}859\). Comme \(6{,}51<6{,}859\), l'inégalité polygonale est violée : aucun quadrilatère 1,9-progressif n'existe.
2c. Pour un quadrilatère de côtés \(1,k,k^2,k^3\), il faut : \(1+k+k^2>k^3\).
2d. En testant à la calculatrice :
| \(k\) | 1,82 | 1,83 | 1,84 |
|---|---|---|---|
| \(1+k+k^2\) | 6,1324 | 6,1789 | 6,2256 |
| \(k^3\) | 6,0286 | 6,1285 | 6,2295 |
Pour \(k=1{,}82\) et \(1{,}83\), \(1+k+k^2>k^3\) (existe) ; pour \(k=1{,}84\), \(6{,}2256<6{,}2295\) (n'existe plus). La plus petite valeur à 2 décimales pour laquelle un quadrilatère \(k\)-progressif n'existe pas est \(k=1{,}84\).
3. Pour un polygone à \(n\) côtés \(1,k,\ldots,k^{n-1}\), il faut \(1+k+\cdots+k^{n-2}>k^{n-1}\), soit (pour \(k\neq1\)) \(\dfrac{k^{n-1}-1}{k-1}>k^{n-1}\). Si \(k\geqslant2\) : \(\dfrac1{k-1}\leqslant1\), donc \(\dfrac{k^{n-1}-1}{k-1}\leqslant k^{n-1}-1
Remarque du corrigé : plus \(n\) augmente, plus la plus petite valeur de \(k\) permettant l'existence se rapproche de la borne 2 (sans jamais l'atteindre).