Exercice 4 — Le jeu de dés — Olympiades 2010 Nantes

Sujet

Deux joueurs (Jean, Étienne) lancent chacun un dé à 6 faces. Si égalité, le lancer est nul ; sinon celui qui a le plus grand numéro marque un point. La partie s'arrête quand un joueur atteint 10 avec au moins 2 points d'écart (sinon elle continue jusqu'à ce que l'écart de 2 soit atteint).

1. Score final 14-12 en faveur d'Étienne. a) Jean affirme avoir lancé 20 fois : vrai ? b) En fait, chacun a lancé 28 fois : combien de lancers nuls ? c) Quel était le score de Jean au 26^e lancer ?

2. Jean gagne 10 à 6. En sommant les numéros sortis (tous lancers), l'écart en faveur d'Étienne (qui perd pourtant) peut-il être de 22 ?

3. Score 10-9 en faveur de Jean, puis tous les lancers suivants sont gagnants ; Étienne l'emporte en moins de 35 lancers, avec un cinquième de lancers nuls sur toute la partie. Score final ?

4. Moins de 30 lancers ; le nombre de lancers et le score de chacun sont premiers. Montrer que le nombre de lancers nuls est premier, et le déterminer.

5. Jean gagne 10-6. Moyenne des numéros de Jean : 4,25 (hors nuls), 4,1 (avec nuls). Moyenne d'Étienne : 4 (hors nuls), 3,9 (avec nuls). Nombre de lancers nuls et leur moyenne ?

Le nombre de lancers gagnants égale toujours la somme des deux scores (chaque lancer gagnant donne exactement 1 point à quelqu'un). Question 2 : l'écart maximal possible par lancer gagnant est 5 (dé 6 contre dé 1). Question 5 : sur un lancer nul, les deux joueurs sortent le même numéro — donc la somme des numéros sortis pendant les lancers nuls est identique pour Jean et pour Étienne ; en écrivant cette égalité à partir des deux moyennes (avec et sans les nuls) pour chaque joueur, on obtient une équation en \(n\) (nombre de lancers nuls).

1a. Le score 14-12 nécessite au moins \(14+12=26\) lancers gagnants (un par point). Comme \(20<26\), Jean a tort.

1b. Avec 28 lancers et 26 gagnants nécessaires : \(28-26=2\) lancers nuls.

1c. En remontant depuis le score final (28^e lancer : 12-14), on montre qu'Étienne a marqué les deux derniers points consécutifs (avec ou sans lancer nul intercalé) : dans tous les cas, le score de Jean était de 12 au 26^e lancer.

2. Étienne gagne 6 fois (écart maximal par lancer : 5), Jean gagne 10 fois (écart minimal par lancer : 1). L'écart maximal possible en faveur d'Étienne sur l'ensemble de la partie est \(6\times5-10\times1=30-10=20\). Comme \(22>20\), l'écart ne peut pas être de 22.

3. Étienne doit gagner avec un score minimal de 12-10 (2 d'écart depuis 10-9 favorable à Jean, en ajoutant des lancers gagnants) : au moins 22 lancers gagnants. Avec un cinquième de lancers nuls, le nombre total de lancers est multiple de 5, entre 22 et 35 (exclu) : 25 ou 30. Pour 25 : 5 nuls, 20 gagnants — insuffisant (il en faut ≥22), absurde. Pour 30 : 6 nuls, 24 gagnants. Score final : 13 à 11 en faveur d'Étienne.

4. Le score \(13\)-\(11\) est le seul couple de nombres premiers consécutifs impairs (différence 2) tous deux \(>10\) et de somme \(<30\). Le nombre de lancers, premier et compris entre 24 (minimum de gagnants) et 30 (exclu), est 29. Le nombre de lancers nuls est \(29-24=\mathbf5\), qui est bien premier.

5. Nombre total de lancers gagnants : \(10+6=16\). Notons \(n\) le nombre de lancers nuls. Somme des numéros de Jean sur les 16 lancers gagnants : \(16\times4{,}25=68\). Somme totale (avec nuls) : \((16+n)\times4{,}1\). Somme sur les nuls (Jean) : \((16+n)\times4{,}1-68\).

De même pour Étienne : somme sur gagnants \(=16\times4=64\), somme sur nuls \(=(16+n)\times3{,}9-64\).

Comme lors d'un lancer nul les deux joueurs sortent le même numéro, ces deux sommes (sur les nuls) sont égales :

\[(16+n)\times4{,}1-68=(16+n)\times3{,}9-64\]

\[(16+n)\times0{,}2=4\implies16+n=20\implies n=4\]

Moyenne des lancers nuls : \(\dfrac{(16+4)\times4{,}1-68}4=\dfrac{82-68}4=\dfrac{14}4=3{,}5\).

Il y a eu 4 lancers nuls, de moyenne 3,5.

Exercice 4 — Le jeu de dés (académique)

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