Exercice 3 — Les nombres chanceux (académique)

Question 3b : tester la parité en \(n=1\) : si \(X\) est pair, \(n^2+n+X\) l'est aussi et vaut au moins 5 — jamais premier (le seul nombre pair premier est 2). Question 3c : raisonner par l'absurde en écrivant \(X=YZ\) (non premier), puis appliquer le programme à \(n=Y\) pour montrer que le résultat se factorise — contredisant que \(X\) est chanceux. Question 4 : combiner les deux conditions nécessaires (3c : \(X\) premier ; 3d : \(X+2\) premier) pour réduire drastiquement les candidats \(<50\), puis tester directement les rares survivants.

1. On calcule \(n^2+n+17\) pour \(n=1\) à \(15\) :

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
\(n^2+n+17\)	19	23	29	37	47	59	73	89	107	127	149	173	199	227	257

Tous ces nombres sont premiers (vérifiable dans la table fournie). Mais la propriété n'est pas vraie pour tout entier : pour \(n=17\), \(17^2+17+17=17\times19\), qui n'est pas premier.

2. \(X^2+X+17=773\iff X^2+X-756=0\). Discriminant \(\Delta=1+4\times756=3025=55^2\). Solutions : \(X=\dfrac{-1\pm55}2\), soit \(X_1=-28\) et \(X_2=27\). Seul \(27\) est un entier naturel : l'entier choisi était 27.

3a. \(X=3\) : \(n=1\) donne \(5\) (premier) → 3 est chanceux. \(X=5\) : \(n=1,2,3\) donnent \(7,11,17\) (tous premiers) → 5 chanceux. \(X=11\) : \(n=1,\ldots,9\) donnent \(13,17,23,31,41,53,67,83,101\) (tous premiers) → 11 chanceux. \(X=7\) : \(n=1\) donne \(9=3^2\), non premier → 7 pas chanceux. \(X=13\) : \(n=1\) donne \(15=3\times5\), non premier → 13 pas chanceux.

3b. Si \(X\) est pair, pour \(n=1\) : \(1+1+X=X+2\), pair et \(\geqslant5\) — jamais premier (seul pair premier : 2). Donc tout nombre chanceux est impair. (Condition nécessaire mais pas suffisante : 7 est impair mais pas chanceux.)

3c. Soit \(X\) chanceux, supposons \(X=YZ\) non premier (\(Y,Z\geqslant2\)). On montre \(Y\leqslant X-2\) : équivaut à \(2\leqslant Y(Z-1)\), vrai car \(Y\geqslant2\) et \(Z-1\geqslant1\). Donc \(Y\in\{2,\ldots,X-2\}\), et par définition de « chanceux », \(Y^2+Y+X\) devrait être premier. Or \(Y^2+Y+X=Y^2+Y+YZ=Y(Y+1+Z)\), produit de deux facteurs \(\geqslant2\) : absurde. Donc \(X\) est nécessairement premier.

3d. Pour \(n=1\) : \(1+1+X=X+2\) est premier par définition (dès que \(X\geqslant3\), \(n=1\) fait partie des valeurs testées). Donc \(X+2\) est premier.

4. Le 5^e nombre chanceux (appelons-le A, \(A<50\)) doit être premier (3c) et \(A+2\) premier aussi (3d). En éliminant tous les nombres impairs \(<50\) qui ne vérifient pas ces deux conditions à la fois, il ne reste que 29 (31 premier) et 41 (43 premier). Test direct de 29 : \(n=2\) donne \(4+2+29=35=5\times7\), non premier → 29 n'est pas chanceux. Le 5^e nombre chanceux est donc 41.

Note : ce résultat est directement lié au célèbre polynôme d'Euler \(n^2+n+41\), qui produit des nombres premiers pour \(n=0\) à \(39\) — l'un des faits les plus connus de théorie des nombres récréative.