Exercice 2 — Les chaînonze — Olympiades 2010 Nantes

Sujet

Critère : un nombre \(<999\) est divisible par 11 ssi (chiffre des centaines + chiffre des unités − chiffre des dizaines) vaut 0 ou 11. Un chaînonze est une chaîne de chiffres telle que tout groupe de 3 termes consécutifs forme un nombre divisible par 11 (ex : « 7594 » car 759 et 594 sont divisibles par 11).

Quel chiffre ajouter à droite de « 7594 » pour prolonger le chaînonze ?
Prolonger « 7594 » en un chaînonze de 12 chiffres. Peut-on continuer indéfiniment ? Quel serait le 2010^e chiffre ?
Prolonger « 09 » et « 91 ». Que constate-t-on ?
Pour la chaîne « ab » : étudier si elle se prolonge en chaînonze de 3 chiffres, et si c'est unique, en distinguant a) \(b=a\), b) \(b=a-1\), c) les autres cas.
Montrer qu'en prolongeant « ab » au maximum, on obtient un chaînonze soit fini, soit 6-périodique.

À chaque étape, ajouter un chiffre \(x\) à droite revient à résoudre \(p+x-q=0\) ou \(p+x-q=11\) (où \(p,q\) sont les deux chiffres précédents) : c'est une simple équation du premier degré en \(x\), qu'il faut vérifier être un chiffre valide (0 à 9). Pour la question 5, il s'agit d'énumérer systématiquement tous les cas possibles selon la relation entre \(a\) et \(b\) (égaux, \(b=a-1\), \(ab+1\), etc.) et de suivre la chaîne engendrée jusqu'à ce qu'elle se bloque ou se répète.

1. Pour \(x\) ajouté à « 7594 » : \(9+x-4=0\) (donne \(x=-5\), invalide) ou \(9+x-4=11\) (donne \(x=6\), valide). La chaîne devient « 75946 ».

2. En continuant : « 759462759462… », la séquence « 759462 » se répétant indéfiniment (chaînonze 6-périodique, donc oui, prolongeable indéfiniment). Comme \(2010\) est divisible par 6 (\(2010=335\times6\)), le \(2010^e\) chiffre coïncide avec le \(6^e\) chiffre du motif : c'est 2.

3. « 09 » se prolonge en « 099022 » répété indéfiniment (6-périodique). « 91 » se prolonge en « 9132 » puis se bloque : les équations \(3+x-2=0\) et \(3+x-2=11\) donnent \(x=-1\) et \(x=10\), tous deux invalides. On constate donc que selon la chaîne de départ, le chaînonze peut soit continuer indéfiniment, soit se bloquer après un nombre fini de chiffres.

4a. Si \(b=a\) : prolongement unique « \(a\,b\,0\) » (car \(a+0-a=0\) fonctionne toujours).

4b. Si \(b=a-1\) : les équations \(a+x-b=0\) et \(a+x-b=11\) donnent \(x=-1\) et \(x=11-(a-b)=10\) : aucune solution valide, impossible de prolonger.

4c. Si \(bDans tous les cas hors \(b=a-1\), le prolongement est unique.

5. En étudiant systématiquement tous les cas (\(a=b\), \(a=b+1\), \(01\), \(a>b+1>1\), etc.), chaque chaîne de départ « ab » mène soit à un blocage (chaînonze fini, de longueur variable selon les cas), soit à un chaînonze 6-périodique. Sur les 100 couples \((a,b)\) possibles (chiffres 0 à 9), le corrigé source dénombre 33 cas de blocage et 67 cas 6-périodiques (répartition exhaustive détaillée dans un tableau).

Exercice 2 — Les chaînonze (national)

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