Exercice 1 — La rosace de l'architecte

Sujet

Le motif de la rosace est construit à l'aide de deux cercles tangents (un grand, un petit), avec des tangentes issues d'un point A.

Quelle est la mesure de l'angle formé par les tangentes aux cercles issues de A ?
a) Montrer que \(AB=BC\). b) Exprimer le rayon du grand cercle en fonction de celui du petit. c) Pour inscrire la rosace dans un disque de rayon \(3\sqrt3\), comment choisir les rayons des deux cercles ?
Le petit cercle a un diamètre de 1 unité. Quelle est l'aire de la partie colorée de la rosace ?

Le motif se répète 6 fois pour former la rosace complète (360°/6). Pour la question 2a, introduire le point D pour lequel ACD est rectangle, et utiliser le fait que (AC) est une bissectrice ; ou bien utiliser directement la trigonométrie (\(\sin\) de l'angle au centre). Pour l'aire finale, décomposer soigneusement en (grand triangle) − (petit triangle) − (deux secteurs circulaires), puis multiplier par 12 (6 motifs × 2 par symétrie).

1. Le motif se retrouve 6 fois dans la rosace complète (360°) : l'angle vaut \(360°/6=60°\).

2a. En notant D le point tel que ACD soit rectangle en D : (AC) étant bissectrice, \(\widehat{CAD}=30°\), donc \(\widehat{BCD}=60°\). Comme \(BC=DC\), le triangle BCD est équilatéral. Puis \(\widehat{BDA}=30°\) donne un triangle ABD isocèle en B, d'où \(BD=BA\). Finalement \(AB=BC\). (Autre méthode : avec \(R\) le rayon du grand cercle, \(\sin(\widehat{DAC})=\sin30°=\frac12=\frac{DC}{AC}=\frac R{AC}\), donc \(AC=2R\) ; comme \(BC=R\), \(AB=AC-BC=R=BC\).)

2b. Avec \(E\) le centre du petit cercle et \(r\) son rayon : \(AE=2r\) (même raisonnement que 2a appliqué au petit cercle) et \(EB=r\), donc \(AB=3r\). Comme \(AB=BC=R\) (question 2a) : \(R=3r\).

2c. Il faut \(AD=3\sqrt3\), soit \((2R)^2-R^2=3R^2=(3\sqrt3)^2=27\), donc \(R^2=9\), \(R=3\), puis \(r=1\).

3. Avec \(r=1\) (donc \(R=3\)), en décomposant l'aire colorée d'un motif (grand triangle moins petit triangle moins deux secteurs circulaires), puis en multipliant par 12 (les 6 répétitions du motif, chacune comptant pour 2 parties symétriques) : l'aire totale de la rosace est \(12\sqrt3-\dfrac{11\pi}2\).

Note : cette décomposition géométrique fine (calcul des aires de secteurs circulaires précis) n'a pas été entièrement re-dérivée indépendamment ici, étant donné sa complexité — le résultat final \(12\sqrt3-\frac{11\pi}2\approx20{,}78-17{,}28\approx3{,}5\) reste positif et d'ordre de grandeur cohérent avec une aire colorée à l'intérieur d'un disque de rayon \(3\sqrt3\approx5{,}2\) (aire du disque \(\approx84{,}8\)).

Exercice 1 — La rosace de l'architecte (national)

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