Olympiades · Académique Nantes · 2009 · Séries S-SVT et S-SI
Alex veut construire un tétraèdre dont les 4 faces sont isométriques à un même triangle. Premier essai : triangle ABC de côtés 5, 6, 7 cm, dont il construit le patron.
1. Montrer que le patron est un triangle semblable à ABC.
2. Il imagine un pavé droit AECFHDGB dont les arêtes du tétraèdre ABCD sont des diagonales des faces. Le tétraèdre a-t-il alors toutes ses faces isométriques ?
3. Sachant \(AE=\sqrt6\) : a) calculer AF et AH ; b) calculer le volume du tétraèdre ABCD.
Second essai : triangle de côtés 5, 6, 8 cm. 4. Peut-on former le tétraèdre (sans justification) ?
5. Pour un triangle quelconque d'angles \(\widehat A\leqslant\widehat B\leqslant\widehat C\), en pliant le patron autour de [AB], l'angle \(\widehat{CBD}\) varie entre \(\widehat B+\widehat A\) et \(\widehat B-\widehat A\). a) Montrer que \(\widehat C\) doit être compris entre ces deux valeurs pour former le tétraèdre. b) En déduire que tous les angles du triangle doivent être aigus, et expliquer la difficulté du second essai.
⚠️ Le corrigé source de cet exercice est très condensé (formules parfois abrégées) — reconstruit et vérifié ci-dessous.
1. Les 4 faces du tétraèdre étant isométriques et la somme des angles d'un triangle valant un angle plat (180°), les trois angles du patron déplié autour d'un sommet s'ajoutent pour former un angle plat : les points \(D_2\), A, \(D_3\) (sommets du patron voisins de A) sont donc alignés, ce qui prouve que le patron est bien un triangle, semblable à ABC (mêmes 3 angles répartis autour de chaque sommet).
2. Deux faces opposées d'un pavé droit sont des rectangles isométriques, donc ont des diagonales égales. Comme chaque arête du tétraèdre est une diagonale de face, les arêtes opposées du tétraèdre sont égales deux à deux — ce qui donne bien 4 faces isométriques (le tétraèdre est dit « isofaces » ou orthocentrique).
3a. Avec \(AE=\sqrt6\), et les diagonales des 3 faces valant 5, 6, 7 (les côtés du triangle) : le théorème de Pythagore appliqué aux 3 faces du pavé donne un système que l'on résout pour obtenir \(AF=\sqrt{30}\) et \(AH=\sqrt{19}\).
3b. Le volume du pavé est \(AE\times AF\times AH=\sqrt6\times\sqrt{30}\times\sqrt{19}=\sqrt{6\times30\times19}=\sqrt{3420}\). Le tétraèdre ABCD occupe le tiers du pavé (pavé moins 4 tétraèdres de coin, chacun de volume \(\frac16\) du pavé, soit \(4\times\frac16=\frac23\) retiré, laissant \(\frac13\)) :
\[\text{Volume(ABCD)}=\frac{\sqrt{3420}}3=\sqrt{\frac{3420}9}=\sqrt{380}=2\sqrt{95}\ \text{cm}^3\]
4. Non, il n'est pas possible de former le tétraèdre avec un triangle de côtés 5, 6, 8 (aucune justification demandée à ce stade — voir question 5 pour l'explication).
5a. Pour que le pliage referme correctement le patron autour de [AB] et forme un tétraèdre, l'angle \(\widehat{CBD}\) obtenu doit correspondre exactement à l'angle \(\widehat C\) du triangle d'origine (le sommet D du patron doit venir se superposer avec C). Comme \(\widehat{CBD}\) varie continûment entre \(\widehat B-\widehat A\) et \(\widehat B+\widehat A\) pendant le pliage, il faut donc que \(\widehat B-\widehat A\leqslant\widehat C\leqslant\widehat B+\widehat A\), ce qui donne en particulier \(2\widehat C\leqslant\widehat A+\widehat B+\widehat C=180°\) (puisque \(\widehat C\leqslant\widehat B+\widehat A\)).
5b. De \(2\widehat C\leqslant180°\), on tire \(\widehat C\leqslant90°\) — et comme \(\widehat C\) est le plus grand angle du triangle (\(\widehat A\leqslant\widehat B\leqslant\widehat C\)), tous les angles du triangle doivent être aigus. Pour le triangle 5-6-8 : \(\cos(\widehat C)=\dfrac{5^2+6^2-8^2}{2\times5\times6}=\dfrac{25+36-64}{60}=\dfrac{-3}{60}<0\), donc \(\widehat C\) est obtus (loi d'Al-Kashi) : c'est précisément pour cela qu'Alex ne peut pas former le tétraèdre avec ce second triangle.