Exercice 3 — L'horloge — Olympiades 2009 Nantes

Sujet

Les aiguilles se déplacent continûment sur un cycle de 12h. X = centre, A = point 0h00, A' = opposé à A, B = position de la petite aiguille (heures), C = position de la grande aiguille (minutes).

Cercle d'horloge avec points A0..A11, X centre, B et C positions des aiguilles

À 3h30, puis à 3h35 : mesures des angles \(\widehat{AXB}\) et \(\widehat{AXC}\) ?
Entre 3h00 et 4h00, à quelle(s) heure(s) les aiguilles forment-elles un angle de 108° ?
Combien de fois les aiguilles heures/minutes se superposent-elles en 12h, et à quelles heures ?
Avec l'aiguille des secondes : les trois aiguilles se superposeront-elles à nouveau après 0h00m00s ?
Deux fourmis partent de A à vitesse égale, l'une sur le cercle, l'autre en aller-retour sur le diamètre [AA']. Peuvent-elles se retrouver en A ?

Indication du sujet : en 1761, Johann Heinrich Lambert démontra l'irrationalité de π…

Notant l'heure \(H\) h \(M\) min, on a \(\widehat{AXB}=30\left(H+\dfrac M{60}\right)\) (la petite aiguille avance de 30° par heure) et \(\widehat{AXC}=6M\) (la grande aiguille avance de 6° par minute). Toutes les questions se ramènent à résoudre une équation simple sur \(M\) (ou \(H\)) à partir de ces deux formules. Pour la question 5, l'indication du sujet est un indice fort : traduire une éventuelle rencontre par une égalité de distances parcourues, qui ferait de \(\pi\) un nombre rationnel — contradiction.

1. Avec \(\widehat{AXB}=30(H+M/60)\) et \(\widehat{AXC}=6M\) : à 3h30, \(\widehat{AXB}=105°\), \(\widehat{AXC}=180°\). À 3h35, \(\widehat{AXB}=107{,}5°\), \(\widehat{AXC}=210°\).

2. \(\widehat{AXC}-\widehat{AXB}=108°\) : \(6M-30(3+M/60)=108\iff6M-90-M/2=108\iff5{,}5M=198\iff M=36\). À 3h36. (L'autre sens, \(\widehat{AXB}-\widehat{AXC}=108°\), donnerait \(M<0\) : impossible entre 3h et 4h.)

3. \(\widehat{AXB}=\widehat{AXC}\iff M=\dfrac{60}{11}H\), pour \(H=0,1,\ldots,10\) (pour \(H=11\), \(M=60\) correspond en fait au début du cycle suivant, \(12h=0h\)). Les aiguilles se superposent donc 11 fois en 12h (à 0h00, 1h05min27s, 2h10min54s, …, 10h54min32s).

4. Le tableau des 11 superpositions heures/minutes montre qu'à chacune d'elles (sauf 0h00), l'aiguille des secondes se trouve dans un secteur angulaire différent de celui des heures/minutes : les trois aiguilles ne se superposent donc jamais à nouveau dans le cycle de 12h (seule 0h00 fonctionne).

5. Si une rencontre en A était possible, la première fourmi aurait parcouru un nombre entier \(m\) de tours (\(m\pi d\), \(d\) = diamètre) et la seconde un nombre entier \(n\) d'allers-retours (\(2nd\)). Vitesses égales, mêmes distances : \(m\pi d=2nd\), soit \(\pi=\dfrac{2n}m\), un nombre rationnel — ce qui contredit l'irrationalité de \(\pi\) (Lambert, 1761). Les deux fourmis ne peuvent donc jamais se retrouver en A.