Exercice 2 — Le losange par pliage — Olympiades 2009 Nantes

Sujet

On plie une feuille rectangulaire le long d'une diagonale, on coupe les parties qui ne se recouvrent pas, puis on déplie : on obtient toujours un losange (propriété démontrée en fin d'exercice).

Construire le losange obtenu à partir d'une feuille \(L=16\), \(l=8\) (on note \(c\) le côté du losange).
Calculer \(c\) pour une feuille \(16\times8\).
Trouver les dimensions entières \((L,l)\) d'une feuille donnant un losange de côté \(7{,}5\).
Une feuille de longueur \(L\) donne un losange d'aire \(75\%\) de celle de la feuille. Exprimer \(l\) en fonction de \(L\).
Démontrer que la manipulation donne toujours un losange.

Après pliage, un petit triangle rectangle apparaît dans un coin, de côtés \((L-c)\) et \(l\), d'hypoténuse \(c\) (le côté du losange) : le théorème de Pythagore donne directement une équation en \(c\), \(L\) et \(l\). Pour la question 5, il s'agit de montrer que la figure obtenue a ses 4 côtés égaux, en utilisant les propriétés de la symétrie axiale (le pliage) : longueurs conservées, et un argument de parallélisme.

2. Avec \(L=16\), \(l=8\) : le triangle rectangle de coin a pour côtés \((16-c)\) et \(8\), d'hypoténuse \(c\) : \((16-c)^2+8^2=c^2\), soit \(256-32c+64=0\), donc \(c=\dfrac{320}{32}=10\).

3. Pour \(c=7{,}5\) : \((L-7{,}5)^2+l^2=7{,}5^2\) (avec \(L\geqslant8\)), soit \(l^2=L(15-L)\). Les seules solutions entières sont \(L=12\), \(l=6\).

4. Les deux triangles rectangles découpés (isométriques) ont pour aire totale \(25\%\) de l'aire du rectangle : \((L-c)\,l=0{,}25\,Ll\), avec \(c=0{,}75\,L\) (le losange occupe \(75\%\) de l'aire, et sa base « visible » restante est \(0{,}75L\) sur la longueur). On en déduit \(L^2=2l^2\), soit \(l=\dfrac{\sqrt2}2L\).

5. Le pliage est une symétrie axiale d'axe la diagonale (AC). En notant \(B'\) l'image de \(B\), \(E\) l'intersection de \((AB')\) et \((CD)\), et \(E'\) le symétrique de \(E\) (qui se trouve sur \((AB)\), car \(CBE'\) est l'image de \(CB'E\)) : la symétrie conserve les longueurs, donc \(CE'=CE\) et \(AE=AE'\). Avec le parallélisme de \((CE)\) et \((AE')\) (côtés opposés du rectangle), on montre que les 4 côtés \(AE\), \(EC\), \(CE'\), \(E'A\) sont égaux : la figure obtenue est bien un losange.