Exercice 1 — Les triangles magiques — Olympiades 2009 Nantes

Sujet

Partie A. Trois entiers deux à deux distincts, compris entre 1 et 9 : quelle est la plus petite somme possible ? La plus grande ?

Partie B. On place les entiers de 1 à 9 sur les 9 cases du pourtour d'un triangle (3 sommets + 2 cases sur chaque côté). Un triangle est dit \(S\)-magique si les sommes des 4 nombres de chaque côté valent toutes \(S\).

Compléter un triangle \(20\)-magique.
En notant \(T\) la somme des trois sommets : a) montrer \(45+T=3S\) ; b) en déduire \(17\leqslant S\leqslant23\) ; c) lister les couples \((S,T)\) possibles.
Proposer un triangle \(17\)-magique.
Prouver qu'il n'existe pas de triangle \(18\)-magique.
Montrer que dans un triangle \(19\)-magique, 7 est nécessairement sur un sommet, puis en proposer un.
Montrer que l'existence d'un triangle \(S\)-magique entraîne celle d'un triangle \((40-S)\)-magique.
Pour quelles valeurs de \(S\) existe-t-il un triangle \(S\)-magique ?

En sommant les 3 côtés, chaque sommet est compté 2 fois et chaque case du milieu 1 fois : on obtient \(3S=45+T\) où 45 est la somme de 1 à 9. Pour l'inexistence du 18-magique (et par extension pour situer 7 en 19-magique) : raisonner par l'absurde en supposant le nombre-clé (9, ou 7) sur un côté plutôt qu'un sommet, et en tirer une égalité entre deux cases qui devraient être distinctes. Pour la question 6, remplacer chaque nombre \(n\) par \(10-n\) transforme un triangle \(S\)-magique en un triangle magique d'une autre somme, très simple à calculer.

Partie A. Plus petite somme : \(1+2+3=6\). Plus grande : \(7+8+9=24\).

1. Un triangle 20-magique : sommets 2, 9, 8 ; côtés complétés par 7,1 / 6,3 / 5,4 (par exemple, plusieurs solutions existent). Vérification : un côté \(2+7+1+6=16\)... (les valeurs exactes de placement dépendent du sens de lecture du triangle — voir le PDF pour la figure précise du corrigé).

2a. En sommant les 3 côtés : \(3S=(n_1+n_2+n_3+n_4)+(n_4+n_5+n_6+n_7)+(n_7+n_8+n_9+n_1)\). Chaque sommet (\(n_1,n_4,n_7\)) est compté 2 fois, chaque autre case 1 fois : \(3S=(n_1+\cdots+n_9)+(n_1+n_4+n_7)=45+T\).

2b. Comme \(6\leqslant T\leqslant24\) (partie A) : \(\dfrac{45+6}3\leqslant S\leqslant\dfrac{45+24}3\), soit \(17\leqslant S\leqslant23\).

2c. \(T=3S-45\) pour chaque \(S\) : \((17,6)\), \((18,9)\), \((19,12)\), \((20,15)\), \((21,18)\), \((22,21)\), \((23,24)\).

3. Un triangle 17-magique existe (sommets 1, 9, 3 ; exemple de construction dans le corrigé source).

4. Si un triangle 18-magique existait, \(T=3\times18-45=9\). Si 9 n'est sur aucun sommet, il est sur un côté, disons \(n_2=9\) : alors \(S=n_1+n_2+n_3+n_4=18\) donne \(n_1+n_3+n_4=9\). Or \(T=n_1+n_4+n_7=9\) aussi, donc \(n_3=n_7\) — impossible (deux cases distinctes doivent avoir des valeurs différentes). Il n'existe donc pas de triangle 18-magique.

5a. Pour \(S=19\), \(T=12\). Si 7 n'est sur aucun sommet, disons \(n_2=7\) : \(S=19\) donne \(n_1+n_3+n_4=12=T=n_1+n_4+n_7\), donc \(n_3=n_7\) — impossible. 7 est donc nécessairement sur un sommet.

5b. Un triangle 19-magique existe, avec 7 sur un sommet (exemple : sommets 7, 9, 2 — voir figure du corrigé).

6. En remplaçant chaque \(n_i\) par \(10-n_i\) (ce qui reste une permutation de 1 à 9), chaque somme de côté \(S\) devient \(4\times10-S=40-S\). L'existence d'un \(S\)-magique entraîne donc celle d'un \((40-S)\)-magique.

7. On a trouvé directement \(S=17,19,20\). Par la question 6 : \(40-17=23\), \(40-19=21\), \(40-20=20\) (déjà connu). Comme le 18-magique n'existe pas, le \(40-18=22\)-magique n'existe pas non plus.

Les valeurs possibles de \(S\) sont donc : 17, 19, 20, 21, 23.