Exercice 4 — La « somme d'Aimé » — Olympiades 2008 Nantes

Sujet

Aimé a écrit \(\dfrac93+\dfrac42=\dfrac{9+4}{3+2}=\dfrac{13}5\), et s'est fait corriger : « le calcul \(\frac ab+\frac cd=\frac{a+c}{b+d}\) n'est jamais correct entre rationnels positifs ou nuls (sauf \(0+0\)) ». On appelle « somme d'Aimé » de \(\frac ab\) et \(\frac cd\) la fraction \(\dfrac{a+c}{b+d}\).

Aimé trouve pourtant une égalité correcte entre la somme d'Aimé et la somme classique, entre rationnels strictement positifs. Le professeur a-t-il tort ? Retrouver une telle relation.
Montrer que si \(a,b,c,d\) sont des entiers naturels avec \(a0\), \(c>0\), \(d>0\) et \(\frac ab<\frac cd\), on a toujours \(\frac ab<\dfrac{a+c}{b+d}<\frac cd\). En déduire qu'Aimé ne pourra jamais trouver d'exemple entre entiers.
Aimé construit, en partant de \(\frac01\) et \(\frac11\), la suite des sommes d'Aimé successives insérées entre fractions voisines (\(\frac01,\frac11\to\frac12\to\frac01,\frac13,\frac12,\frac23,\frac11\to\cdots\)). Écrire la ligne obtenue après trois insertions complètes.
En codant chaque insertion « à gauche » (G) ou « à droite » (D) de la fraction précédemment obtenue (ex : \(3/11\) s'obtient par GGDG), quel nombre donne le codage GDGGD ? Quel est le codage de \(11/18\) ?
Montrer que tout rationnel strictement entre 0 et 1 peut être obtenu par cette méthode, en un nombre fini d'étapes.

Il s'agit de la construction de l'arbre de Stern-Brocot (ou des médiantes) : à chaque étape, on insère entre deux fractions voisines \(\frac pq\) et \(\frac{p'}{q'}\) leur « médiante » \(\frac{p+p'}{q+q'}\). Un fait clé (admis à la question 5b, et qu'on peut vérifier sur les premiers exemples) : deux fractions voisines \(\frac pq,\frac{p'}{q'}\) obtenues à une étape de la construction vérifient toujours \(p'q-pq'=1\) — c'est ce qui garantit que chaque rationnel de \([0;1]\) est atteint une fois et une seule.

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1. Le nombre rationnel \(\frac{-9}{-3}\) est strictement positif (\(=3\)), tout comme \(\frac42\) (\(=2\)). Somme classique : \(\frac{-9}{-3}+\frac42=3+2=5\). Somme d'Aimé : \(\dfrac{-9+4}{-3+2}=\dfrac{-5}{-1}=5\). Les deux sommes coïncident : le professeur n'avait donc pas tort en toute généralité, seulement pour des rationnels écrits avec numérateur et dénominateur positifs.

2. Pour \(a,b,c,d\) entiers, \(b,d>0\) : \(\frac ab<\frac cd\iff ad0\). Or \((a+c)b-a(b+d)=bc-ad>0\) et \(c(b+d)-(a+c)d=bc-ad>0\) : donc \(\frac ab<\dfrac{a+c}{b+d}\) et \(\dfrac{a+c}{b+d}<\frac cd\), soit \(\frac ab<\dfrac{a+c}{b+d}<\frac cd\).

La somme d'Aimé est donc toujours strictement comprise entre les deux fractions initiales (jamais égale à leur somme classique, qui elle est \(\geqslant\frac cd\)) — sauf le cas particulier \(a/b=c/d\), qui ne donne jamais d'exemple valide non plus (sauf \(0+0\)). Aimé ne pourra donc jamais trouver d'exemple entre entiers naturels.

3. Partant de \(\frac01,\frac11\), en insérant à chaque étape toutes les médiantes des paires voisines :

Étape 1 : \(\frac01,\frac12,\frac11\).

Étape 2 : \(\frac01,\frac13,\frac12,\frac23,\frac11\).

Étape 3 (ligne demandée) :

\[\frac01,\frac14,\frac13,\frac25,\frac12,\frac35,\frac23,\frac34,\frac11\]

4. En traçant le chemin GDGGD à partir de \([0/1;1/1]\) :

Étape	1	2	3	4	5
Code	—	G	D	G	G
Fraction	1/2	1/3	2/5	3/8	4/11

Puis D final : médiante de \(4/11\) et \(3/8\) (bornes de l'intervalle courant) : \(\dfrac{4+3}{11+8}=\dfrac7{19}\). GDGGD donne \(7/19\).

Réciproquement, pour \(11/18\) : \([0/1,1/1]\to1/2\)(D)\(\to2/3\)(G)\(\to3/5\)(D)\(\to5/8\)(G)\(\to8/13\)(G)\(\to11/18\). Le codage de \(11/18\) est DGDGG (5 étapes).

5a. À chaque étape, l'une des deux bornes de l'intervalle est la fraction \(F\) obtenue à l'étape précédente, et l'autre a un dénominateur \(\geqslant\) un entier déjà présent : leur somme d'Aimé a donc un dénominateur strictement supérieur à celui de \(F\). Le dénominateur augmente donc à chaque étape ; après l'étape 1 il vaut 2, donc après \(n\) étapes, il vaut au moins \(2+(n-1)=n+1\).

5b. Avec \(p'q-pq'=1\) (admis), pour \(a,b\) entiers non nuls tels que \(\frac pq<\frac ab<\frac{p'}{q'}\) : \(bp'>aq'\) (entiers, donc \(bp'\geqslant aq'+1\)) et \(bp0\) la 1^ère, \(\times(-q)<0\) la 2^nde) : \(bp'q-bpq'\geqslant q+q'\), soit \(b(p'q-pq')\geqslant q+q'\), soit (car \(p'q-pq'=1\)) : \(b\geqslant q+q'\).

5c. Pour tout rationnel \(r=\frac ab\) (\(0contradiction. Donc \(r\) est bien obtenu en au plus \(b-1\) étapes — ce qui démontre que tout rationnel de \(]0;1[\) est atteint en un nombre fini d'étapes, confirmant l'intuition d'Aimé.