Exercice 4 — La tour CN de Toronto — Olympiades 2008 Nantes

Sujet

La tour CN à Toronto, haute de 553 m, fut jusqu'en 2007 l'édifice le plus élevé au monde. Quelques hauteurs : Plancher de verre 342 m, Belvédère 346 m, Restaurant 360 (351 m), Nacelle d'observation (dernier des 147 étages) 447 m, toit 457 m, antenne 553 m.

1. Les ascenseurs.

a) Six ascenseurs rapides mettent 58 s pour atteindre le Plancher de verre (342 m). Vitesse en km/h ?

b) Du Belvédère à la Nacelle (33 étages plus haut), avec un ascenseur aussi rapide, quel temps ?

c) Un ascenseur spécial met 10 s pour les 10 premiers étages, 20 s pour les 10 suivants, 40 s pour les 10 suivants, 80 s pour les 10 suivants... Temps pour arriver à l'étage 140 ?

d) Un autre ascenseur met 1 min pour les 64 premiers étages, puis 1 min pour les 32 suivants, puis 1 min pour les 16 suivants... Arrivera-t-il à l'étage 128 ?

2. Les escaliers. La course caritative annuelle compte 1776 marches. X monte 3 marches à la fois (et dépose 1 \( sur chaque marche foulée), Y monte 4 à la fois (idem).

a) Quelle sera la somme récoltée ? b) Combien de marches porteront 2 dollars (foulées par les deux) ?

3. Le Restaurant 360. Il effectue une rotation complète en 72 minutes (sens antihoraire). B, C et D sortent ensemble alors que leur table est au Sud, après y être restés respectivement 90, 60 et 45 minutes. Situer la position de la table à l'installation de chacun.

1c-d : ce sont des sommes de puissances de 2 (temps constant par tranche d'étages qui double, ou tranche d'étages qui diminue de moitié à temps constant) — la clé est de reconnaître qu'une somme infinie de type $64+32+16+\cdots$ (ou en temps $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots$) tend vers une limite sans jamais l'atteindre en un nombre fini d'étapes. 2 : $1776$ se factorise utilement pour repérer les marches communes aux deux foulées (multiples du PPCM de 3 et 4). 3 : convertir chaque durée en fraction de tour (durée/72), multiplier par 360°, et se souvenir que la rotation se fait dans le sens antihoraire à partir du Sud.

1a. Vitesse $=342/58\approx5{,}9$ m/s $=\dfrac{0{,}342\times3600}{58}\approx21{,}23$ km/h.

1b. Du Belvédère (346 m) à la Nacelle (447 m) : $447-346=101$ m. Temps $=101/5{,}9\approx17$ s.

1c. Temps pour les 10 premiers étages : $u_1=10$ s. Pour l'étage 10 à 20 : $u_2=20$ s (suite géométrique de raison 2). Pour arriver à l'étage 140 (14 tranches de 10) : $u_1+\cdots+u_{14}=10\times\dfrac{1-2^{14}}{1-2}=163\,830$ s $=2730$ min 30 s $\approx45$h 30 min 30 s.

1d. $64+32+16+8+4+2+1=127$ : en 7 minutes, l'ascenseur atteint l'étage 127. Ensuite, chaque minute supplémentaire ne fait progresser que de la moitié de la fraction d'étage restante : au bout de 4 minutes de plus, il a monté $0{,}5+0{,}25+0{,}125+0{,}0625=0{,}9375$ étage.

⚠️ Le corrigé source indique « 0,9075 étage », ce qui est une coquille (transposition de chiffres) : $0{,}5+0{,}25+0{,}125+0{,}0625=0{,}9375$ exactement (somme des quatre premiers termes de la suite géométrique de raison $1/2$). La conclusion reste inchangée : cette somme s'approche de 1 sans jamais l'atteindre exactement en temps fini.

À ce rythme, il n'atteindra donc jamais l'étage 128 (la limite de la série est bien 128, mais elle n'est atteinte qu'à l'infini).

2. $1776=4\times444=16\times111=16\times3\times37$. X (marches 3 par 3) foule $1776/3=592$ marches : il dépose 592 $. Y (4 par 4) foule $1776/4=444$ marches : il dépose 444 $. Somme récoltée : $592+444=\mathbf{1036}$ $.

Les marches communes aux deux (multiples de $\mathrm{PPCM}(3,4)=12$) portent 2 $ : $1776/12=\mathbf{148}$ marches.

3. B : $90/72=5/4$ tour $\to360°\times5/4=450°$. C : $60/72=5/6$ tour $\to300°$. D : $45/72=5/8$ tour $\to225°$.

En partant du Sud et en remontant le temps (rotation antihoraire, donc pour revenir en arrière dans le temps on tourne dans le sens horaire depuis le Sud) : B s'est installé après une rotation de $450°$ (soit $450-360=90°$) avant la sortie, C après $300°$, D après $225°$.