Exercice 3 — Le fil doré — Olympiades 2008 Nantes

Sujet

1. Chloé décore un vase en forme de prisme droit à base hexagonale régulière (côté 6 cm, hauteur 30 cm) avec un fil doré. Partant d'un sommet A de la base, le fil fait un angle de 30° avec l'horizontale sur chaque face, en continuant de face en face, jusqu'à atteindre le bord supérieur. a) Quelle est la longueur du fil ? b) Sur quelle arête du bord supérieur s'arrête-t-il ?

2. Gaëlle décore une pyramide régulière à base hexagonale (faces latérales : triangles isocèles de côtés 30, 30 et 6 cm). Le fil part d'un sommet A de la base, arrive perpendiculairement à l'arête suivante à chaque fois, et s'arrête au sommet S. a) Longueur du fil ? b) Combien de tours fait-il autour de l'axe de la pyramide ?

Pour le prisme (question 1) : « déplier » les faces latérales successives sur un même plan transforme le trajet en fil en une ligne droite — on peut alors utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle formé. Pour la pyramide (question 2) : la longueur de fil sur chaque face forme une suite géométrique (le fil se rapproche du sommet S sans jamais vraiment l'atteindre en un nombre fini de tours) — chercher la raison de cette suite géométrique à partir de l'angle d'arrivée perpendiculaire.

1a. En dépliant les faces latérales sur un plan, le trajet du fil devient un segment de droite AK, où K est le point d'arrivée sur le bord supérieur déplié. Avec KH la hauteur du vase (30 cm) : \(AK=\dfrac{KH}{\sin(30°)}=2\times KH=60\).

Chloé utilisera 60 cm de fil.

1b. \(AH=\dfrac{KH}{\tan(30°)}=30\sqrt3\approx51{,}96\) cm. Comme chaque côté de la base mesure 6 cm, \(8\times6=48<51{,}96<54=9\times6\) : le fil termine sa course sur la 9^e face dépliée, à \(51{,}96-48\approx3{,}96\) cm du sommet correspondant du bord supérieur.

2a. En dépliant les faces triangulaires de la pyramide (côtés SA=SB=30, AB=6), la longueur totale du fil (perpendiculaire à chaque arête d'arrivée) se calcule via \(AS=\dfrac{SH\times MB}{IB}\) où ces longueurs proviennent de la géométrie du triangle déplié, ce qui donne \(AS=90\sqrt{11}\) cm (environ 298 cm).

2b. La longueur de fil déployée sur chaque face successive forme une suite géométrique de raison \(\cos(2\alpha)\) (avec \(\alpha\) l'angle formé au sommet B), strictement comprise entre 0 et 1 (car le fil converge vers S sans l'atteindre exactement en un nombre fini d'étapes). La longueur totale du fil, \(90\sqrt{11}\), est la limite de cette suite géométrique — mais cette limite n'est atteinte qu'à l'infini : le fil doit donc effectuer une infinité de tours autour de l'axe de la pyramide pour atteindre S exactement.