Exercice 2 — Nombres « bons » et « mauvais »

Pour montrer qu'un nombre est bon, une seule bonne décomposition suffit. Pour montrer qu'il est mauvais, il faut écarter TOUTES les décompositions — deux remarques aident à en éliminer beaucoup d'un coup : si 1 apparaît dans une décomposition de \(n\) (\(n\geqslant2\)), c'est toujours mauvais ; plus généralement, si un entier \(k\) apparaît \(k\) fois avec \(n>k^2\), c'est aussi mauvais. Question 4 : c'est une récurrence — utiliser le résultat de la question 3 pour construire, à partir des « bons » nombres déjà connus entre 24 et \(p\), le nombre \(p+1\) (en distinguant \(p+1\) pair ou impair).

1. \(4=2+2\) (\(\frac12+\frac12=1\)), \(9=3+3+3\) (\(\frac13\times3=1\)), \(10=4+4+2\) (\(\frac14+\frac14+\frac12=1\)) : ces trois nombres sont bons. En éliminant systématiquement les décompositions contenant un 1, ou un entier \(k\) répété \(k\) fois avec reste, il ne reste que très peu de cas à examiner pour 5, 6, 7, 8 — et aucun ne fonctionne : 5, 6, 7 et 8 sont mauvais.

Exemple détaillé pour 6 : après élimination des décompositions avec un 1 (mauvaises) et de \(2+2+2\) (\(\frac12\times3=\frac32\neq1\)), il ne reste que \(2+4\) (\(\frac12+\frac14=\frac34\neq1\)) et \(3+3\) (\(\frac13+\frac13=\frac23\neq1\)) : aucune ne convient, 6 est bien mauvais ✓.

2. Si \(n=k^2\), alors \(n=\underbrace{k+\cdots+k}_{k\text{ fois}}\), et la somme des inverses est \(k\times\frac1k=1\). Le carré de tout entier \(\geqslant2\) est donc bon.

3. Si \(n\) est bon, il existe \(n_1,\ldots,n_p\) tels que \(n=\sum n_i\) et \(\sum\frac1{n_i}=1\).

\(2n+2=\sum(2n_i)+2\), et \(\sum\frac1{2n_i}+\frac12=\frac12\sum\frac1{n_i}+\frac12=\frac12+\frac12=1\) : c'est une bonne décomposition, donc \(2n+2\) est bon.

\(2n+9=\sum(2n_i)+3+6\), et \(\sum\frac1{2n_i}+\frac13+\frac16=\frac12+\frac12=1\) : donc \(2n+9\) est bon.

4. \(56=2\times27+2\) : comme 27 est bon (entre 24 et 55), 56 est bon par la question 3. Par récurrence : supposons tous les entiers de 24 à un rang \(p\geqslant56\) bons, et montrons que \(p+1\) l'est aussi.

Si \(p+1\) est pair (donc \(p\) impair, \(p\geqslant57\)) : \(p+1=2n+2\) avec \(n=\frac{p-1}2\geqslant28\), dans l'intervalle \([24;p]\), donc \(n\) est bon, donc \(p+1\) est bon (question 3).

Si \(p+1\) est impair (donc \(p\) pair, \(p\geqslant56\)) : \(p+1=2n+9\) avec \(n=\frac{p-8}2\geqslant24\), dans \([24;p]\), donc \(n\) est bon, donc \(p+1\) est bon.

Par récurrence, tout entier \(\geqslant56\) est donc bon (56 est bon, donc 57 l'est, donc 58 l'est, etc.).