Sujet
1. Léonard veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire, en traçant depuis un coin deux segments vers le côté opposé, à distance \(x\) l'un de l'autre (voir figure). Quelle valeur donner à \(x\) ?
2. Léonard supprime la zone triangulaire hachurée : les trois parties restantes sont alors triangulaires. Peuvent-elles avoir la même aire ?
3. En reprenant la construction de la question 2 (carré ABCD, H sur [AB], J sur [DC], I intersection), Léonard mène de H la perpendiculaire (HJ) à (AB) et remarque que (HJ), (DI) et (AC) semblent concourantes. Qu'en est-il ?
1. L'aire de chacun des triangles rectangles DCI et ADH (avec les notations de la question 3) est \(\dfrac{x}{2}\). L'aire du quadrilatère restant est \(1-x\). Si les trois parties ont la même aire : \(1-x=\dfrac{x}{2}\), donc \(x=\dfrac23\).
2. Même méthode : l'aire de chaque triangle rectangle est \(\dfrac{x}{2}\), et l'aire du triangle restant est \(1-x-\left(\dfrac{1-x}{2}\right)^2\cdot2\)… plus précisément \(1-x-\dfrac{(1-x)^2}{2}\). L'égalité des trois aires donne \(x^2+x-1=0\), dont l'unique solution dans \([0;1]\) est \(x=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\). Oui, les trois triangles peuvent avoir la même aire pour cette valeur de \(x\).
3. Dans le repère \((A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})\) : \(A(0;0)\), \(D(0;1)\), \(C(1;1)\), \(H(\alpha;0)\), \(J(\alpha;1)\), \(I(1;1-\alpha)\), avec \(\alpha=\dfrac{\sqrt5-1}{2}\) (valeur de \(x\) trouvée en question 2).
Équation de (DI) : \(y=-\alpha x+1\). Équation de (AC) : \(y=x\). Équation de (HJ) : \(x=\alpha\). Le point d'intersection G de (DI) et (AC) vérifie \(a=-\alpha a+1\) et \(b=a\), ce qui équivaut à \(a=\alpha\), \(b=\alpha\) : donc \(G(\alpha;\alpha)\), qui appartient bien aussi à (HJ) (\(x=\alpha\)).
Les trois droites (HJ), (DI) et (AC) sont donc bien concourantes, au point \(G(\alpha;\alpha)\).