Olympiades · Académique Nantes · 2007 · Séries S et SI
Célestin, magasinier, doit empiler des bouteilles cylindriques d'eau minérale de diamètre 8,4 cm pour former une « pyramide » triangulaire (chaque ligne a une bouteille de plus, chaque bouteille reposant dans le creux de deux bouteilles de la ligne du dessous). Son chef lui impose une hauteur maximale de 1 mètre.
La pyramide terminée dépasse 1 mètre. Célestin la divise alors en deux nouvelles pyramides, de même taille et sur le même modèle.
1. Sachant que Célestin a empilé moins de 300 bouteilles lors de sa première pyramide, combien y a-t-il de bouteilles ?
2. La hauteur de chacune des deux nouvelles pyramides remplit-elle la condition du chef ?
On rappelle : pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).
Condition sur la hauteur. La hauteur d'un triangle équilatéral de côté 8,4 cm est \(\frac{\sqrt3}{2}\times8{,}4=4{,}2\sqrt3\) cm. La hauteur totale d'une pyramide de \(n\) lignes est \(8{,}4+(n-1)\times4{,}2\sqrt3\) (cm). Cette hauteur dépasse 100 cm quand \(n>1+\dfrac{91{,}6}{4{,}2\sqrt3}\approx13{,}59\), soit \(n\geqslant14\) (entier).
Condition sur le nombre de bouteilles. Avec \(n\) lignes, il y a \(\frac{n(n+1)}{2}\) bouteilles. La condition « moins de 300 » donne \(n^2+n-600<0\). Le trinôme \(x^2+x-600\) a pour racines \(-25\) et \(24\), donc \(n\leqslant23\) (entier).
On a donc \(14\leqslant n\leqslant23\).
Condition sur la division en deux pyramides égales. Il faut \(\frac{n(n+1)}{2}=2\times\frac{k(k+1)}{2}\), soit \(n(n+1)=2k(k+1)\). Comme \(k\) et \(k+1\) sont consécutifs, \(k(k+1)\) est pair, donc \(2k(k+1)\) est divisible par 4 ; il faut donc que \(n(n+1)\) soit divisible par 4, ce qui impose que \(n\) ou \(n+1\) (l'un des deux, consécutifs) soit lui-même divisible par 4.
Parmi \(14\leqslant n\leqslant23\) : \(n\) divisible par 4 → \(n\in\{16,20\}\) ; \(n+1\) divisible par 4 → \(n\in\{15,19\}\). Quatre candidats : \(n\in\{15,16,19,20\}\).
| \(n\) | 15 | 16 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Bouteilles \(N=\frac{n(n+1)}{2}\) | 120 | 136 | 190 | 210 |
| \(\Delta=1+4N\) | 481 | 545 | 761 | 841 |
Pour que \(k^2+k-N=0\) ait une solution entière, il faut que \(\Delta=1+4N\) soit un carré parfait : seul \(\Delta=841=29^2\) (pour \(n=20\)) l'est.
On résout \(k^2+k-210=0\) : \(k=\dfrac{-1+\sqrt{841}}{2}=\dfrac{-1+29}{2}=14\).
La grande pyramide comptait 210 bouteilles, empilées sur 20 lignes (bien inférieur à 300). Célestin construit ensuite deux pyramides de 105 bouteilles chacune, empilées sur 14 lignes.
2. La hauteur de chaque nouvelle pyramide (\(k=14\)) est \(8{,}4+(14-1)\times4{,}2\sqrt3=8{,}4+13\times4{,}2\sqrt3\approx103\) cm.
Cette hauteur (≈103 cm) dépasse 100 cm : la pyramide ne remplit donc pas la condition imposée par le chef !