Exercice 4 — Dissection polygonale — Olympiades 2007 Nantes

Sujet

Une dissection d'un polygone A consiste à le découper en morceaux plus petits, puis à les réassembler (sans chevauchement, sans les retourner — seulement rotations et translations) pour former un polygone B de même aire.

1. Le sujet montre la dissection d'un triangle équilatéral de côté 2 en un rectangle de côté 1, ainsi que celle d'un triangle isocèle particulier T dans ce même rectangle. a) Calculer la longueur \(d\) (longueur commune de deux pièces adjacentes). b) Compléter sur l'annexe la dissection du triangle équilatéral en le triangle T.

2. Deux polygones sont dits équidécomposables (e.d.) s'il existe une dissection de l'un vers l'autre. On admet que tout triangle est e.d. à un rectangle, et que tout rectangle est e.d. à un rectangle de côté 1. Démontrer que deux triangles ou rectangles de même aire sont toujours équidécomposables.

3. Une figure d'aire totale 16 est donnée. Montrer qu'elle est équidécomposable à un carré de côté 4.

Question 1a : utiliser le théorème de Pythagore sur la moitié du triangle isocèle T, en exprimant ses côtés en fonction de la hauteur du triangle équilatéral (\(\sqrt3\)) et de la hauteur \(h=2\) trouvée pour T (via l'égalité des aires). Question 2 : la propriété d'« équidécomposabilité en chaîne » énoncée après la question 1b (si A→B et B→C alors A→C) permet de faire transiter n'importe quel triangle ou rectangle par un rectangle « intermédiaire » de côté 1 et de même aire — deux figures de même aire, transitant par le même rectangle de côté 1 (de longueur = l'aire commune), sont donc e.d. entre elles.

1a. La hauteur du triangle équilatéral de côté 2 est \(2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\) — c'est aussi la longueur du rectangle et le côté vertical du triangle T. Aire du triangle équilatéral : \(\dfrac{2\times\sqrt3}{2}=\sqrt3\). Le triangle T a la même aire ; en notant \(h\) sa hauteur horizontale (médiane) : \(\dfrac{\sqrt3\times h}{2}=\sqrt3\), donc \(h=2\).

Les pièces 1 et 2 partagent un côté de longueur \(d\) ; Pythagore sur la moitié supérieure du triangle T donne \(\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+2^2=(2d)^2\), soit \(\dfrac34+4=(2d)^2=\dfrac{19}{4}\), d'où \(d=\dfrac{\sqrt{19}}{4}\).

1b. Construction géométrique sur l'annexe (numérotation des pièces 1 à 7 correspondant entre les deux figures) — voir le PDF pour le détail visuel de la dissection.

2. Soit \(a\) l'aire commune de A et B. Cas où A et B sont deux rectangles : d'après la propriété 2, chacun est e.d. à un rectangle de côté 1 et de même aire — comme la dissection préserve l'aire, ce rectangle intermédiaire a pour dimensions \(1\times a\) dans les deux cas : c'est donc le même rectangle. Par la propriété de transitivité (A→C, B→C, donc A→B), A et B sont e.d.

Cas général (triangles et/ou rectangles) : par la propriété 1, tout triangle est e.d. à un rectangle. On se ramène donc toujours au cas de deux rectangles de même aire \(a\), traité ci-dessus, en passant par un rectangle intermédiaire pour chaque figure qui est un triangle.

3. La figure donnée a une aire totale de 16 \(=4^2\), exactement l'aire d'un carré de côté 4 (qui est un rectangle particulier). En décomposant la figure en triangles et/ou rectangles (comme illustré dans le sujet), chaque morceau est, par la question 2, équidécomposable à un rectangle de côté 1 de même aire qui lui est propre ; en recollant tous ces rectangles côte à côte (ils ont tous une largeur commune de 1), on obtient un grand rectangle d'aire 16 et de côté 1, donc de dimensions \(16\times1\) — lui-même e.d. (par la question 2, cas rectangle-rectangle) au carré de côté 4, de même aire 16.