Exercice 3 — Des animaux — Olympiades 2007 Nantes

Sujet

Toutes les droites et figures sont dans un même plan, et les symétries utilisées sont des symétries orthogonales.

1-2. Sur le dessin 1, la figure F (un rectangle ABCD et un segment [AE]) est symétrisée par rapport à deux droites sécantes (OX) et (OY), donnant \(F_1\) et \(F_2\). Représenter \(F_1\) et \(F_2\), puis identifier quelle transformation permet de passer de \(F_1\) à \(F_2\).

3. Sur le dessin 2, Yasmina a dessiné un canard (figure F) et deux droites sécantes, puis tracé les symétriques \(F_1\) et \(F_2\). Maxime a effacé F et les deux droites : peut-on les retrouver ? Si oui, donner un procédé, tracer les deux droites et les points correspondants sur F, \(F_1\) et \(F_2\).

4. Sur le dessin 3, Simon a dessiné un dauphin et ses symétriques par rapport à trois droites, effacées par Maxime. Peut-on retrouver ces trois droites ?

La composée de deux symétries orthogonales d'axes sécants en un point O est toujours une rotation de centre O, dont l'angle est le double de l'angle entre les deux axes. Pour retrouver le centre O à partir de \(F_1\) et \(F_2\) seules, penser à ce qui caractérise géométriquement le centre d'une rotation transformant un point en un autre : il est équidistant des deux points, donc sur leur médiatrice.

1-2. La figure \(F_1\) se transforme en \(F_2\) par une rotation de centre O. En effet, pour tout point M de F, notons \(M_1\) et \(M_2\) ses symétriques par rapport à (OX) et (OY) : alors \(OM=OM_1=OM_2\). L'angle \((\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM})\) est le double de l'angle \((\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OM})\), et l'angle \((\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM_2})\) est le double de l'angle \((\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OY})\). Par somme, \(OM_1=OM_2\) et l'angle \((\overrightarrow{OM_1},\overrightarrow{OM_2})\) est le double de l'angle \((\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY})\), qui est indépendant de M. La transformation est donc la rotation de centre O et d'angle \(2(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY})\).

3. Les droites effacées passent nécessairement par le centre O de la rotation transformant \(F_1\) en \(F_2\). Or, on peut retrouver O : il est sur toutes les médiatrices des segments \([A_1A_2]\) où \(A_1\) et \(A_2\) sont deux points homologues de \(F_1\) et \(F_2\) (par exemple le bout du bec du canard sur chaque figure). Deux médiatrices sécantes suffisent à le localiser.

Mais une fois O connu, il existe une infinité de droites (OX) qui conviennent : pour n'importe quelle droite (OX) passant par O, on peut construire (OY) telle que l'angle \(2(\overrightarrow{OX},\overrightarrow{OY})\) soit égal à l'angle de la rotation ; la symétrie par rapport à (OX) puis (OY) redonne bien la même transformation globale. On ne peut donc pas retrouver avec certitude les deux droites précises tracées par Yasmina — seul leur point d'intersection O est déterminé, pas leurs directions individuelles.

4. La situation change avec trois droites (dessin 3, dauphin) : l'axe de symétrie entre F et \(F_1\) est déterminé par les centres \(I_2\) et \(I_3\) des rotations transformant respectivement \(F_1\) en \(F_2\) et \(F_1\) en \(F_3\) — ces deux centres étant distincts, l'axe passant par les deux est parfaitement déterminé (une droite est fixée par deux points). Les deux autres axes se retrouvent de façon analogue. Cette fois, il y a unicité : on peut donc affirmer avec certitude que ce sont bien les trois droites tracées par Simon.

L'idée clé de cette question 4, par rapport à la question 3, est qu'avoir un troisième point de comparaison (donc deux centres de rotation \(I_2\), \(I_3\) au lieu d'un seul point O) suffit à fixer complètement une droite, là où un seul point ne fixait qu'une direction possible parmi une infinité.