Exercice 3 — A-polygones réguliers étoilés

Sujet

On considère un cercle (C) de rayon 5 cm et un point A de ce cercle. Soit \(n\geqslant5\) un entier. On partage le cercle en \(n\) arcs égaux, délimités par \(n\) points régulièrement répartis (dont A), formant un polygone régulier convexe. Parmi tous les polygones qu'on peut former en reliant ces \(n\) points dans un ordre régulier, on s'intéresse à ceux, dits « croisés », où l'on saute toujours le même nombre \(p\) d'arcs d'un sommet au suivant (en partant de A, dans le sens trigonométrique). Un tel polygone est noté \(P_A(n;p)\), un A-polygone régulier étoilé à \(n\) branches d'indice \(p\).

Combien y a-t-il de A-polygones réguliers étoilés à 5 branches ? Le(s) tracer.
Existe-t-il des A-polygones réguliers étoilés à 6 branches ?
Déterminer le nombre de A-polygones réguliers étoilés à 8, 33 et 41 branches.
On suppose \(n\) premier ; on note \(E(n)\) l'ensemble des A-polygones réguliers étoilés à \(n\) branches. Quelle est la probabilité qu'un polygone choisi au hasard dans \(E(n)\) ait un indice pair ?

L'indice \(p\) détermine entièrement le polygone. Deux restrictions naturelles limitent les valeurs utiles de \(p\) : il faut \(p\geqslant2\) (sinon le polygone est le polygone convexe, pas croisé), et il ne faut pas dépasser un demi-tour par côté, ce qui borne \(p\) par \(\mathrm{E}(n/2)\) (partie entière). Le résultat clé (à démontrer) : un tel polygone existe si et seulement si \(\mathrm{PGCD}(n,p)=1\) — sinon on ne visite qu'une partie des \(n\) sommets et on ne referme pas le tracé sur tous les points.

Résultat central (démontré au fil du corrigé) : un A-polygone régulier étoilé à \(n\) branches d'indice \(p\) existe si et seulement si \(2\leqslant p\leqslant\mathrm{E}(n/2)\) et \(\mathrm{PGCD}(n,p)=1\). En effet, si \(d=\mathrm{PGCD}(n,p)>1\), le tracé ne visite que \(n/d\) sommets avant de se refermer, sans jamais atteindre les autres ; si \(d=1\), aucun multiple \(kp\) (\(1\leqslant k\leqslant n-1\)) n'est multiple de \(n\), donc il faut bien tracer les \(n\) côtés pour revenir au point de départ.

1. Pour \(n=5\) : seul \(p=2\) est possible (\(p=3\) redonne le même polygone que \(p=2\) parcouru en sens inverse ; \(p=4\) dépasse la borne). Il y a un unique A-polygone régulier étoilé à 5 branches : \(P_A(5;2)\) (le pentagramme classique), constructible à la règle et au compas (angle au centre de 72°).

2. Pour \(n=6\) : les candidats \(p=2\) et \(p=3\) ne sont pas premiers avec 6 (\(\mathrm{PGCD}(6,2)=2\), \(\mathrm{PGCD}(6,3)=3\)) : le tracé ne visite respectivement que 3 puis 2 sommets, sans jamais former un polygone à 6 branches fermé. Il n'existe aucun A-polygone régulier étoilé à 6 branches.

3. Le comptage revient à dénombrer les entiers \(p\) premiers avec \(n\), avec \(2\leqslant p\leqslant\mathrm{E}(n/2)\).

Pour \(n=8\) : \(\mathrm{E}(8/2)=4\). Parmi \(\{2,3,4\}\), seul 3 est premier avec 8. 1 polygone : \(P_A(8;3)\).

Pour \(n=41\) (premier) : \(\mathrm{E}(41/2)=20\). Comme 41 est premier, tous les entiers de 2 à 20 lui sont premiers : 19 polygones.

⚠️ Erreur trouvée dans le corrigé imprimé (cas \(n=33\)). Le corrigé source affirme qu'il y a 10 A-polygones à 33 branches, en listant les entiers premiers avec 33 entre 2 et \(\mathrm{E}(33/2)=16\) comme : 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 14 et 16. Or \(33=3\times11\), et \(15=3\times5\) partage le facteur 3 avec 33 : \(\mathrm{PGCD}(15,33)=3\neq1\), donc 15 n'est pas premier avec 33 et ne doit pas être compté. Recalcul indépendant complet (exclusion des multiples de 3 : 3,6,9,12,15 ; et de 11 : 11) : les entiers premiers avec 33 entre 2 et 16 sont exactement 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 14, 16 — soit 9 valeurs, donc 9 A-polygones réguliers étoilés à 33 branches (et non 10).

4. Pour \(n\) premier \(\geqslant5\) (donc impair), \(\mathrm{Card}\,E(n)=n-3\) (nombre d'entiers premiers avec \(n\) — donc tous — entre 2 et \(\mathrm{E}(n/2)=(n-1)/2\), soit \((n-1)/2-1=(n-3)/2\) valeurs ; erratum : en comptant bien, \(\mathrm{Card}\,E(n)=(n-3)/2\)). En distinguant selon que \(n\equiv1\) ou \(n\equiv3\ [4]\), on trouve :

si \(n=4k+1\) : \(q(n)=\dfrac{n-1}{2n-6}\) ;
si \(n=4k+3\) : \(q(n)=\dfrac12\).